Chapterبەش 5 · Lectureوانە 5.2

Stretching, Compressing and Reflecting Graphsدرێژکردنەوە، پەستاندن و وێنەدانەوەی هێڵکاری

How multiplying a function by a constant, or its input by a constant, stretches or compresses its graph vertically or horizontally, and how a minus sign reflects it across an axis: $c\,f(x)$ , $f(cx)$ , $f(x/c)$ (a horizontal stretch, corrected), $-f(x)$ and $f(-x)$ , with the 17 examples of the notes worked and drawn.

چۆن لێکدانی یان لە هێڵکارییەکەی بە ستوونی یان ئاسۆیی درێژ دەکاتەوە یان دەپەستێنێت و چۆن نیشانەی سالب بەرامبەر وێنەی دەداتەوە: $c\,f(x)$ ، $f(cx)$ ، $f(x/c)$ ( ئاسۆیی، ڕاستکراوەتەوە)، $-f(x)$ و $f(-x)$ ، لەگەڵ ⁦17⁩ نموونەکەی تێبینییەکان بە چارەسەر و هێڵکاری.

10 min read12 خولەک خوێندنەوە · 12 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Stretch or compress a graph vertically with $c\,f(x)$ and $\tfrac1c f(x)$ .
Compress or stretch a graph horizontally with $f(cx)$ and $f(x/c)$ , and explain why the inside works the other way round.
Reflect a graph across the x-axis or the y-axis, and find the new domain and range.
Read a formula that combines stretches, reflections and shifts in the right order.

هێڵکارییەک بە $c\,f(x)$ و $\tfrac1c f(x)$ بە ستوونی درێژ بکەیتەوە یان بیپەستێنیت.
هێڵکارییەک بە $f(cx)$ و $f(x/c)$ بە ئاسۆیی بپەستێنیت یان درێژی بکەیتەوە و ڕوونی بکەیتەوە بۆچی ناوەوە بە پێچەوانەوە کار دەکات.
هێڵکارییەک بەرامبەر x یان y وێنە بدەیتەوە و و نوێ بدۆزیتەوە.
فۆرمولەیەک کە ، و تێکەڵ دەکات بە ڕیزبەندیی ڕاست بخوێنیتەوە.

Stretch, compress, flipدرێژکردنەوە، پەستاندن و وێنەدانەوە

Shifts slide a graph without changing its shape. This lesson changes the shape. To scale the graph of $y=f(x)$ is to stretch it or compress it, vertically or horizontally. With a minus sign you can also reflect it, as in a mirror, across the x-axis or the y-axis.

کشانەوە هێڵکارییەک دەخزێنێت بەبێ گۆڕینی شێوەکەی. ئەم وانەیە شێوەکە دەگۆڕێت. $y=f(x)$ واتە یان ، بە ستوونی یان بە ئاسۆیی. بە نیشانەیەکی سالب دەتوانیت وێنەشی بدەیتەوە، وەک لە ئاوێنەدا، بەرامبەر x یان y.

Definitionپێناسە

Making a graph taller or shorter (vertical) or wider or narrower (horizontal) by a factor c: a or a .

بەرزتر یان نزمترکردنی هێڵکارییەک (بە ستوونی) یان پانتر یان تەسکترکردنی (بە ئاسۆیی) بە ڕێژەی c: یان .

There are again two places to put the number c: outside f, which changes the outputs (vertical), or inside f, which changes the inputs (horizontal). And again the inside works the other way round. In this lesson $c>1$ unless we say otherwise.

دیسان دوو شوێن هەیە بۆ دانانی ژمارەی c: دەرەوەی f، کە دەگۆڕێت (ستوونی)، یان ناوەوەی f، کە دەگۆڕێت (ئاسۆیی). دیسان ناوەوە بە پێچەوانەوە کار دەکات. لەم وانەیەدا $c>1$ ـە مەگەر شتێکی تر بڵێین.

Vertical stretch and compression: $c\,f(x)$ درێژکردنەوە و پەستاندنی ستوونی: $c\,f(x)$

y=c\,f(x),\qquad y=\tfrac1c\,f(x)\qquad (c>1)

Examples 1 and 2: the same inputs, heights times 3 or divided by 3.نموونەی 1 و 2: هەمان ، بەرزییەکان لێکدراو لە 3 یان دابەشکراو بەسەر 3ـدا.
$x$	$0$	$1$	$4$	$9$
$\sqrt x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$3\sqrt x$	$0$	$3$	$6$	$9$
$\tfrac13\sqrt x$	$0$	$\tfrac13$	$\tfrac23$	$1$

Examples 1 and 2:

3\sqrt x

is a vertical stretch by 3,

\tfrac13\sqrt x

a vertical compression by 3.نموونەی 1 و 2:

3\sqrt x

ستوونییە بە ڕێژەی 3،

\tfrac13\sqrt x

ستوونییە بە ڕێژەی 3.CêIT

Quick checkپشکنینی خێراThe point

(4,2)

is on

y=\sqrt x

. Which point is on

y=5\sqrt x

?خاڵی

(4,2)

لەسەر

y=\sqrt x

ـە. کام خاڵ لەسەر

y=5\sqrt x

ـە؟

(\tfrac45,2)

(\tfrac45,2)

(20,2)

(20,2)

(4,7)

(4,7)

(4,10)

(4,10)

Vertical stretch and compression: $c\,f(x)$ درێژکردنەوە و پەستاندنی ستوونی: $c\,f(x)$

Watching a parabola stretch and compressسەیرکردنی درێژکردنەوە و پەستاندنی بڕگەیەکی هاوتا

Examples 12 and 13 of the notes do the same to the parabola: $y=2x^2$ doubles every height, so the U becomes narrower; $y=\tfrac12x^2$ halves every height, so it becomes wider. The vertex $(0,0)$ stays where it is, because $c\cdot0=0$ .

نموونەی ⁦12⁩ و ⁦13⁩ی تێبینییەکان هەمان کار بە دەکەن: $y=2x^2$ هەموو بەرزییەک دوو هێندە دەکات، بۆیە Uـەکە تەسکتر دەبێت؛ $y=\tfrac12x^2$ هەموو بەرزییەک نیوە دەکات، بۆیە پانتر دەبێت. $(0,0)$ لە شوێنی خۆی دەمێنێتەوە، چونکە $c\cdot0=0$ .

Animation. The dashed parabola y = x² stays in place while a teal parabola y = c·x² changes: c = 2 and c = 3 make it narrower (vertical stretch), c = ½ and c = ⅓ make it wider (vertical compression). Orange dots at x = 1 and x = 2 show the heights c and 4c. The last frame shows y = 3x², y = x² and y = ⅓x² together. — $y=c\,x^2$ : $c>1$ stretches (narrower), $0<c<1$ compresses (wider). $y=c\,x^2$ : $c>1$ درێژی دەکاتەوە (تەسکتر)، $0<c<1$ دەیپەستێنێت (پانتر).CêIT

Everyday analogyنموونەیەک لە ژیانی ڕۆژانەوە

Pull a photo taller on your phone with two fingers, only up and down: every face gets longer, but nothing moves left or right. That is a vertical stretch. Squeezing it down is a vertical compression.

لە مۆبایلەکەتدا بە دوو پەنجە وێنەیەک تەنها بۆ سەرەوە و خوارەوە ڕابکێشە: هەموو ڕوخسارێک درێژتر دەبێت، بەڵام هیچ شتێک بۆ چەپ یان ڕاست ناجوولێت. ئەوە ستوونییە. پەستانی بۆ خوارەوە ستوونییە.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

A photo has edges; a graph goes on forever, and the stretch is measured from the x-axis, not from the middle of the picture.

وێنە لێواری هەیە؛ هێڵکاری بێکۆتایی بەردەوامە و لە xـەوە دەپێورێت، نەک لە ناوەڕاستی وێنەکەوە.

Quick checkپشکنینی خێراWhich graph is wider than

y=x^2

?کام هێڵکاری لە

y=x^2

پانترە؟

y=\tfrac14x^2

y=\tfrac14x^2

y=4x^2

y=4x^2

y=(x-4)^2

y=(x-4)^2

y=x^2+4

y=x^2+4

Horizontal compression and stretch: $f(cx)$ and $f(x/c)$ پەستاندن و درێژکردنەوەی ئاسۆیی: $f(cx)$ و $f(x/c)$

y=f(cx),\qquad y=f\!\left(\tfrac xc\right)\qquad (c>1)

Correctionڕاستکردنەوە

Rule 4 in the notes says that $y=f(\tfrac xc)$ "stretches the graph of f vertically by a factor of c". That is a misprint: dividing the input by c stretches the graph horizontally. Check with Example 4: $\sqrt{x/3}$ reaches the height 2 at $x=12$ instead of $x=4$ , so the curve is pulled sideways; no height is multiplied by 3.

یاسای 4 لە تێبینییەکاندا دەڵێت $y=f(\tfrac xc)$ « f بە ستوونی بە ڕێژەی c درێژ دەکاتەوە». ئەمە هەڵەی چاپە: دابەشکردنی بەسەر cـدا هێڵکارییەکە بە ئاسۆیی درێژ دەکاتەوە. بە نموونەی 4 بیپشکنە: $\sqrt{x/3}$ لە $x=12$ ـدا دەگاتە بەرزیی 2 لە جیاتی $x=4$ ، بۆیە چەماوەکە بە لادا ڕادەکێشرێت؛ هیچ بەرزییەک لە 3 لێک نادرێت.

Quick checkپشکنینی خێراWhich formula stretches the graph of f horizontally by 2?کام فۆرمولە f بە ئاسۆیی بە ڕێژەی 2 درێژ دەکاتەوە؟

f(\tfrac x2)

f(\tfrac x2)

f(2x)

f(2x)

\tfrac12f(x)

\tfrac12f(x)

2f(x)

2f(x)

Horizontal compression and stretch: $f(cx)$ and $f(x/c)$ پەستاندن و درێژکردنەوەی ئاسۆیی: $f(cx)$ و $f(x/c)$

Examples 3 and 4: $\sqrt{3x}$ and $\sqrt{x/3}$ نموونەی 3 و 4: $\sqrt{3x}$ و $\sqrt{x/3}$

Example 3 $y=\sqrt{3x}$ : horizontal compression by 3. Example 4 $y=\sqrt{x/3}$ : horizontal stretch by 3. Both keep the domain $[0,\infty)$ and the range $[0,\infty)$ . For this particular function there is a shortcut: $\sqrt{3x}=\sqrt3\,\sqrt x\approx1.73\sqrt x$ , so squeezing sideways by 3 looks the same as stretching upwards by $\sqrt3$ . Most functions have no such shortcut.

نموونەی 3 $y=\sqrt{3x}$ : ئاسۆیی بە ڕێژەی 3. نموونەی 4 $y=\sqrt{x/3}$ : ئاسۆیی بە ڕێژەی 3. هەردووکیان $[0,\infty)$ و $[0,\infty)$ دەهێڵنەوە. بۆ ئەم ڕێگەیەکی کورت هەیە: $\sqrt{3x}=\sqrt3\,\sqrt x\approx1.73\sqrt x$ ، بۆیە بە لادا بە ڕێژەی 3 وەک بۆ سەرەوە بە ڕێژەی $\sqrt3$ دەردەکەوێت. زۆربەی ئەم ڕێگە کورتەیان نییە.

Examples 3 and 4:

\sqrt{3x}

is squeezed towards the y-axis,

\sqrt{x/3}

is pulled away from it.نموونەی 3 و 4:

\sqrt{3x}

بەرەو y دەپەستێنرێت،

\sqrt{x/3}

لێی دوور دەخرێتەوە.CêIT

Quick checkپشکنینی خێراWhich function has the same graph as

y=\sqrt{3x}

?کام هەمان هێڵکاریی

y=\sqrt{3x}

ـی هەیە؟

y=\sqrt{x+3}

y=\sqrt{x+3}

y=3\sqrt x

y=3\sqrt x

y=\sqrt x+3

y=\sqrt x+3

y=\sqrt3\,\sqrt x

y=\sqrt3\,\sqrt x

Reflections: $-f(x)$ and $f(-x)$ وێنەدانەوە: $-f(x)$ و $f(-x)$

The notes take $c=-1$ :

تێبینییەکان $c=-1$ وەردەگرن:

y=-f(x),\qquad y=f(-x)

Animation. The curve y = √x is drawn with three points (1, 1), (4, 2) and (9, 3). The x-axis lights up and dotted lines carry each point straight down to (1, −1), (4, −2) and (9, −3); the curve y = −√x appears through them. Then the y-axis lights up, dotted lines carry the points of √x straight left to (−1, 1), (−4, 2) and (−9, 3), and the curve y = √(−x) appears. — Examples 5 and 6: $-\sqrt x$ is $\sqrt x$ mirrored in the x-axis; $\sqrt{-x}$ is $\sqrt x$ mirrored in the y-axis.نموونەی 5 و 6: $-\sqrt x$ وێنەی $\sqrt x$ ـە لە ئاوێنەی xـدا؛ $\sqrt{-x}$ وێنەکەیەتی لە ئاوێنەی yـدا.CêIT

A reflection in the x-axis flips the range; a reflection in the y-axis flips the domain. $\sqrt{-x}$ needs $-x\ge0$ , that is $x\le0$ . لە xـدا وەردەگێڕێت؛ لە yـدا وەردەگێڕێت. $\sqrt{-x}$ پێویستی بە $-x\ge0$ هەیە، واتە $x\le0$ .
Exampleنموونە	Reflection	Domain	Range
5) $y=-\sqrt x$	across the x-axisبەرامبەر x	$[0,\infty)$	$(-\infty,0]$
6) $y=\sqrt{-x}$	across the y-axisبەرامبەر y	$(-\infty,0]$	$[0,\infty)$

This links back to even and odd functions: an even function is unchanged by $f(-x)$ (the y-axis mirror), and for an odd function the two mirrors give the same graph, $f(-x)=-f(x)$ ; doing both mirrors one after the other is the half turn about the origin.

ئەمە دەگەڕێتەوە بۆ نەخشە جووتەکان و نەخشە تاکەکان: بە $f(-x)$ (ئاوێنەی y) ناگۆڕێت و بۆ دوو ئاوێنەکە هەمان هێڵکاری دەدەن، $f(-x)=-f(x)$ ؛ ئەنجامدانی هەردوو ئاوێنەکە یەک لە دوای یەک هەمان نیو سووڕانەوەیە بە دەوری .

Reflections of a Function - NerdstudyNerdstudy · Englishئینگلیزی · 76K viewsبینین · 1.4K likesلایک
How a minus sign outside, −f(x), reflects a graph across the x-axis, and a minus sign inside, f(−x), reflects it across the y-axis.
چۆن هێمای سالب لە دەرەوە، $-f(x)$ ، بەرامبەر x وێنە دەداتەوە و هێمای سالب لە ناوەوە، $f(-x)$ ، بەرامبەر y وێنەی دەداتەوە.
Reflections across the x-axis and the y-axis, with the point rules (x, y) → (x, −y) and (−x, y).
بەرامبەر x و y، لەگەڵ یاساکانی خاڵ: $(x, y) \to (x, -y)$ و $(x, y) \to (-x, y)$ .

Examples 7–11 with $|x|$ نموونەکانی ⁦7–11⁩ بە $|x|$

ExerciseڕاهێنانFive transformations of

|x|

پێنج گۆڕانکاری بۆ

|x|

Describe the graphs of (7) $y=2|x|$ (8) $y=\tfrac12|x|$ (9) $y=|2x|$ (10) $y=|\tfrac x2|$ (11) $y=-2|x|$ . Which two pairs give the same graph?

هێڵکارییەکانی ⁦(7)⁩ $y=2|x|$ ⁦(8)⁩ $y=\tfrac12|x|$ ⁦(9)⁩ $y=|2x|$ ⁦(10)⁩ $y=|\tfrac x2|$ ⁦(11)⁩ $y=-2|x|$ وەسف بکە. کام دوو جووت هەمان هێڵکاری دەدەن؟

Hintئاماژە

Use $|ab|=|a|\,|b|$ .

$|ab|=|a|\,|b|$ بەکار بهێنە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Exampleنموونە	What happensچی ڕوو دەدات	Point at $x=1$ خاڵ لە $x=1$
7) $2\|x\|$	vertical stretch by 2: a steeper V ستوونی بە ڕێژەی ⁦2: V⁩ـێکی لێژتر	$(1,2)$
8) $\tfrac12\|x\|$	vertical compression by 2: a flatter V ستوونی بە ڕێژەی ⁦2: V⁩ـێکی تەختتر	$(1,\tfrac12)$
9) $\|2x\|$	horizontal compression by 2, and $\|2x\|=2\|x\|$ : the same graph as 7 ئاسۆیی بە ڕێژەی 2 و $\|2x\|=2\|x\|$ : هەمان هێڵکاریی 7	$(1,2)$
10) $\|\tfrac x2\|$	horizontal stretch by 2, and $\|\tfrac x2\|=\tfrac12\|x\|$ : the same graph as 8 ئاسۆیی بە ڕێژەی 2 و $\|\tfrac x2\|=\tfrac12\|x\|$ : هەمان هێڵکاریی 8	$(1,\tfrac12)$
11) $-2\|x\|$	stretch by 2 and reflection across the x-axis: an upside-down V بە ڕێژەی 2 و بەرامبەر ⁦x: V⁩ـێکی سەرەوژێر	$(1,-2)$

Why are 7 and 9 the same? The absolute value of a product is the product of the absolute values: $|2x|=|2|\cdot|x|=2|x|$ . For a V made of straight lines through the origin, squeezing it sideways by 2 and pulling it up by 2 give the same steeper V. In the same way $|\tfrac x2|=\tfrac12|x|$ .

بۆچی 7 و 9 وەک یەکن؟ لێکدان یەکسانە بە لێکدانی : $|2x|=|2|\cdot|x|=2|x|$ . بۆ Vـێک کە لە هێڵی ڕاست بە پێک هاتووە، بە لادا بە ڕێژەی 2 و ڕاکێشانی بۆ سەرەوە بە ڕێژەی 2 هەمان Vـی لێژتر دەدەن. بە هەمان شێوە $|\tfrac x2|=\tfrac12|x|$ .

Each pair is one graph:

|2x|=2|x|

and

|x/2|=\tfrac12|x|

.هەر جووتێک یەک هێڵکارییە:

|2x|=2|x|

و

|x/2|=\tfrac12|x|

.CêIT

Quick checkپشکنینی خێراWhich function has an upside-down V with its vertex at the origin?کام Vـێکی سەرەوژێری هەیە کە لە ؟

y=|x|-2

y=|x|-2

y=2|x|

y=2|x|

y=-2|x|

y=-2|x|

y=|-2x|

y=|-2x|

Examples 12–17 with $x^2$ نموونەکانی ⁦12–17⁩ بە $x^2$

ExerciseڕاهێنانSix transformations of

x^2

شەش گۆڕانکاری بۆ

x^2

Simplify and describe (12) $2x^2$ (13) $\tfrac12x^2$ (14) $(2x)^2$ (15) $(\tfrac x2)^2$ (16) $-2(x^2)$ (17) $(-2x^2)$ .

سادە بکەرەوە و وەسف بکە: ⁦(12)⁩ $2x^2$ ⁦(13)⁩ $\tfrac12x^2$ ⁦(14)⁩ $(2x)^2$ ⁦(15)⁩ $(\tfrac x2)^2$ ⁦(16)⁩ $-2(x^2)$ ⁦(17)⁩ $(-2x^2)$ .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Exampleنموونە	Simplifiedسادەکراو	What happensچی ڕوو دەدات
12) $2x^2$	$2x^2$	vertical stretch by 2 (narrower) ستوونی بە ڕێژەی 2 (تەسکتر)
13) $\tfrac12x^2$	$\tfrac12x^2$	vertical compression by 2 (wider) ستوونی بە ڕێژەی 2 (پانتر)
14) $(2x)^2$	$4x^2$	horizontal compression by 2 = vertical stretch by 4 ئاسۆیی بە ڕێژەی 2 = ستوونی بە ڕێژەی 4
15) $(\tfrac x2)^2$	$\tfrac14x^2$	horizontal stretch by 2 = vertical compression by 4 ئاسۆیی بە ڕێژەی 2 = ستوونی بە ڕێژەی 4
16) $-2(x^2)$	$-2x^2$	stretch by 2 and reflection across the x-axis (opens downwards) بە ڕێژەی 2 و بەرامبەر x (بەرەو خوارەوە کراوەیە)
17) $(-2x^2)$	$-2x^2$	the same function as 16هەمان ⁦16⁩

Notice 14 and 15: for the parabola a horizontal change can be rewritten as a vertical one, because $(2x)^2=4x^2$ and $(\tfrac x2)^2=\tfrac{x^2}{4}$ . Squeezing the parabola sideways by 2 makes it as narrow as pulling it up by 4.

سەرنجی ⁦14⁩ و ⁦15⁩ بدە: بۆ گۆڕانی ئاسۆیی دەکرێت وەک گۆڕانی ستوونی بنووسرێتەوە، چونکە $(2x)^2=4x^2$ و $(\tfrac x2)^2=\tfrac{x^2}{4}$ . بە لادا بە ڕێژەی 2 هێندەی ڕاکێشانی بۆ سەرەوە بە ڕێژەی 4 تەسکی دەکات.

Answers 12–17 drawn.وەڵامەکانی ⁦12–17⁩ کێشراون.CêIT

Noteتێبینی

Examples 16 and 17 in the notes, $-2(x^2)$ and $(-2x^2)$ , are the same function. Perhaps $(-2x)^2$ was meant for 17. That one is different: $(-2x)^2=4x^2$ , an upward parabola. Its minus sign is inside, so it would reflect the graph across the y-axis, and since $x^2$ is even, that reflection changes nothing.

نموونەی ⁦16⁩ و ⁦17⁩ لە تێبینییەکاندا، $-2(x^2)$ و $(-2x^2)$ ، هەمان . لەوانەیە بۆ ⁦17⁩ مەبەست $(-2x)^2$ بووبێت. ئەوە جیاوازە: $(-2x)^2=4x^2$ ، کە بەرەو سەرەوە کراوەیە. سالبەکەی لە ناوەوەیە، بۆیە هێڵکارییەکە بەرامبەر y وەردەگێڕێت و چونکە $x^2$ جووتە، ئەو هیچ ناگۆڕێت.

Quick checkپشکنینی خێراIs

y=(-2x)^2

the same graph as

y=-2x^2

?ئایا

y=(-2x)^2

هەمان هێڵکاریی

y=-2x^2

ـە؟No:

(-2x)^2=4x^2

opens upwards,

-2x^2

opens downwardsنەخێر:

(-2x)^2=4x^2

بەرەو سەرەوە کراوەیە،

-2x^2

بەرەو خوارەوەYes, both contain

-2

and

x^2

بەڵێ، هەردووکیان

-2

و

x^2

ـیان تێدایەYes, the brackets do not matterبەڵێ، کەوانەکان گرنگ نینNo:

(-2x)^2=-4x^2

نەخێر:

(-2x)^2=-4x^2

Combining stretches, reflections and shiftsتێکەڵکردنی درێژکردنەوە، وێنەدانەوە و کشانەوە

Real formulas mix everything, for example $y=-2|x+1|+3$ . For a formula of the form $y=a\,f(bx+h)+k$ , work in this order: (1) horizontal shift (from h), (2) horizontal stretch, compression or reflection (from b), (3) vertical stretch, compression or reflection (from a), (4) vertical shift (from k). Outside f this is the order of arithmetic: multiply, then add. Inside f it is the reverse of how you compute a value, because changes to the input work the other way round.

فۆرمولە ڕاستەقینەکان هەموو شتێک تێکەڵ دەکەن، بۆ نموونە $y=-2|x+1|+3$ . بۆ فۆرمولەیەک بە شێوەی $y=a\,f(bx+h)+k$ بەم ڕیزبەندییە کار بکە: ⁦(1)⁩ ئاسۆیی (لە hـەوە)، ⁦(2)⁩ ، یان ئاسۆیی (لە bـەوە)، ⁦(3)⁩ ، یان ستوونی (لە aـەوە)، ⁦(4)⁩ ستوونی (لە kـەوە). لە دەرەوەی f ئەمە هەمان ڕیزبەندیی حیسابە: سەرەتا لێکدان، پاشان کۆکردنەوە. لە ناوەوەی f پێچەوانەی ڕیزبەندیی حیسابکردنی بەهاکەیە، چونکە گۆڕینی بە پێچەوانەوە کار دەکات.

$|x+1|$ : the V of $|x|$ moves 1 left; the vertex is at $(-1,0)$ .
$|x+1|$ : Vـی $|x|$ 1 بۆ چەپ دەڕوات؛ لە $(-1,0)$ ـدایە.
$2|x+1|$ : every height doubles; the vertex stays at $(-1,0)$ because its height is 0.
$2|x+1|$ : هەموو بەرزییەک دوو هێندە دەبێت؛ لە $(-1,0)$ دەمێنێتەوە چونکە بەرزییەکەی 0ـە.
$-2|x+1|$ : reflection across the x-axis; the V now opens downwards.
$-2|x+1|$ : بەرامبەر x؛ Vـەکە ئێستا بەرەو خوارەوە کراوەیە.
$-2|x+1|+3$ : everything moves 3 up; the vertex ends at $(-1,3)$ , the highest point of the graph.
$-2|x+1|+3$ : هەموو شتێک 3 بۆ سەرەوە دەڕوات؛ لە $(-1,3)$ ـدا کۆتایی دێت، بەرزترین خاڵی هێڵکارییەکە.

Quick checkپشکنینی خێراWhere is the vertex of

y=-|x+2|-3

?

y=-|x+2|-3

لە کوێیە؟

(2,-3)

(2,-3)

(-2,3)

(-2,3)

(-2,-3)

(-2,-3)

(0,-3)

(0,-3)

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Correctڕاست
" $f(3x)$ stretches the graph by 3."« $f(3x)$ هێڵکارییەکە بە ڕێژەی 3 درێژ دەکاتەوە.»	It compresses it horizontally by 3: values come 3 times sooner.بە ئاسۆیی بە ڕێژەی 3 دەیپەستێنێت: بەهاکان 3 جار زووتر دێن.
" $f(x/c)$ is a vertical stretch" (the misprint in the notes).« $f(x/c)$ ستوونییە» (هەڵە چاپەکەی تێبینییەکان).	It is a horizontal stretch by c. ئاسۆییە بە ڕێژەی c.
Mixing up $-f(x)$ and $f(-x)$ .تێکەڵکردنی $-f(x)$ و $f(-x)$ .	Minus outside: mirror in the x-axis. Minus inside: mirror in the y-axis.سالب لە دەرەوە: ئاوێنە لە x. سالب لە ناوەوە: ئاوێنە لە y.
Keeping the domain of $\sqrt x$ for $\sqrt{-x}$ .هێشتنەوەی $\sqrt x$ بۆ $\sqrt{-x}$ .	$\sqrt{-x}$ lives on $(-\infty,0]$ . $\sqrt{-x}$ لەسەر $(-\infty,0]$ ـە.
Thinking that $(-2x)^2=-4x^2$ .وا بزانیت $(-2x)^2=-4x^2$ .	$(-2x)^2=4x^2$ ; only $-2x^2$ is negative. $(-2x)^2=4x^2$ ؛ تەنها $-2x^2$ سالبە.
Stretching after shifting: reading $2\|x\|+3$ as $2(\|x\|+3)$ . دوای : خوێندنەوەی $2\|x\|+3$ وەک $2(\|x\|+3)$ .	Multiply before adding: the vertex of $2\|x\|+3$ is $(0,3)$ .پێش کۆکردنەوە لێک بدە: $2\|x\|+3$ خاڵی $(0,3)$ ـە.

Quick checkپشکنینی خێراThe point

(9,3)

is on

y=\sqrt x

. Which point is on

y=\sqrt{3x}

?خاڵی

(9,3)

لەسەر

y=\sqrt x

ـە. کام خاڵ لەسەر

y=\sqrt{3x}

ـە؟

(9,1)

(9,1)

(9,9)

(9,9)

(27,3)

(27,3)

(3,3)

(3,3)

Summaryپوختە

Outside changes y (vertical); inside changes x (horizontal), the other way round.دەرەوە y دەگۆڕێت (ستوونی)؛ ناوەوە x دەگۆڕێت (ئاسۆیی)، بە پێچەوانەوە.
Formula ( $c>1$ )فۆرمولە ( $c>1$ )	Effectکاریگەری	$(x,y)$ goes to $(x,y)$ دەچێت بۆ
$c\,f(x)$	vertical stretch by c ستوونی بە ڕێژەی c	$(x,\ cy)$
$\tfrac1c\,f(x)$	vertical compression by c ستوونی بە ڕێژەی c	$(x,\ y/c)$
$f(cx)$	horizontal compression by c ئاسۆیی بە ڕێژەی c	$(x/c,\ y)$
$f(x/c)$	horizontal stretch by c ئاسۆیی بە ڕێژەی c	$(cx,\ y)$
$-f(x)$	reflection across the x-axis بەرامبەر x	$(x,\ -y)$
$f(-x)$	reflection across the y-axis بەرامبەر y	$(-x,\ y)$

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why is

|2x|

the same graph as

2|x|

?بۆچی

|2x|

هەمان هێڵکاریی

2|x|

ـە؟

Because $|2x|=|2|\cdot|x|=2|x|$ for every x.

چونکە بۆ هەموو xـێک $|2x|=|2|\cdot|x|=2|x|$ .

What does

y=-\sqrt x

look like, and what is its range?

y=-\sqrt x

چۆنە و مەوداکەی چییە؟

The curve $\sqrt x$ mirrored below the x-axis; range $(-\infty,0]$ .

چەماوەی $\sqrt x$ کە بۆ ژێر x وێنەی دراوەتەوە؛ $(-\infty,0]$ .

In which order do you read

y=3f(x-1)+2

?

y=3f(x-1)+2

بە چ ڕیزبەندییەک دەخوێنیتەوە؟

1 right, then a vertical stretch by 3, then 2 up.

1 بۆ ڕاست، پاشان ستوونی بە ڕێژەی 3، پاشان 2 بۆ سەرەوە.

This is the last of the graph-transformation lessons. The next lessons in this chapter combine functions with arithmetic and composition. To try the moves on a wave, do the last exercise in Exercises: graphs, code and periods: the range and period of $y=3\sin x$ , $y=\sin2x$ and $y=-\cos x$ .

ئەمە دوایین وانەی هێڵکارییە. وانەکانی داهاتووی ئەم بەشە بە کارە ژمێرەییەکان پێکەوە دەبەستن و ئاوێتەکردنی نەخشەکان فێر دەکەن. بۆ تاقیکردنەوەی ئەم جووڵانە لەسەر شەپۆلێک، دوایین ڕاهێنانی ڕاهێنانەکان: هێڵکاری، کۆد و کاتی خولی بکە: و $y=3\sin x$ ، $y=\sin2x$ و $y=-\cos x$ .

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

Transforming Algebraic Functions: Shifting, Stretching, and ReflectingProfessor Dave Explains · Englishئینگلیزی · 528K viewsبینین · 9.9K likesلایک · Partبەشی 2:51–4:40 (ofلە 7:51)
Moving a graph up, down, left and right, then stretching, shrinking and reflecting it, shown on the basic graphs.
جووڵاندنی بۆ سەرەوە، خوارەوە، چەپ و ڕاست، پاشان ، و ، لەسەر هێڵکارییە بنەڕەتییەکان.
Watch 2:51–4:40: stretching and shrinking (2x², ½x², (2x)²) and the summary box, then reflecting −x² and (−x)².
لە ⁦2:51⁩ تا ⁦4:40⁩ سەیر بکە: و ( $2x^2$ ، $\tfrac12 x^2$ ، $(2x)^2$ ) و چوارچێوەی کورتەکە، پاشان $-x^2$ و $(-x)^2$ .

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Adding, Subtracting, Multiplying and Dividing Functionsکۆکردنەوە، لێدەرکردن، لێکدان و دابەشکردنی نەخشەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Stretching, Compressing and Reflecting Graphsدرێژکردنەوە، پەستاندن و وێنەدانەوەی هێڵکاری

What you will learnچی فێر دەبیت

Stretch, compress, flipدرێژکردنەوە، پەستاندن و وێنەدانەوە

Vertical stretch and compression: c f(x)c\,f(x)cf(x)درێژکردنەوە و پەستاندنی ستوونی: c f(x)c\,f(x)cf(x)

Watching a parabola stretch and compressسەیرکردنی درێژکردنەوە و پەستاندنی بڕگەیەکی هاوتا

Horizontal compression and stretch: f(cx)f(cx)f(cx) and f(x/c)f(x/c)f(x/c)پەستاندن و درێژکردنەوەی ئاسۆیی: f(cx)f(cx)f(cx) و f(x/c)f(x/c)f(x/c)

Examples 3 and 4: 3x\sqrt{3x}3x​ and x/3\sqrt{x/3}x/3​نموونەی 3 و 4: 3x\sqrt{3x}3x​ و x/3\sqrt{x/3}x/3​

Reflections: −f(x)-f(x)−f(x) and f(−x)f(-x)f(−x)وێنەدانەوە: −f(x)-f(x)−f(x) و f(−x)f(-x)f(−x)

Examples 7–11 with ∣x∣|x|∣x∣نموونەکانی ⁦7–11⁩ بە ∣x∣|x|∣x∣

Examples 12–17 with x2x^2x2نموونەکانی ⁦12–17⁩ بە x2x^2x2

Combining stretches, reflections and shiftsتێکەڵکردنی درێژکردنەوە، وێنەدانەوە و کشانەوە

Common mistakesهەڵە باوەکان

Summaryپوختە

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

Vertical stretch and compression: $c\,f(x)$ درێژکردنەوە و پەستاندنی ستوونی: $c\,f(x)$

Horizontal compression and stretch: $f(cx)$ and $f(x/c)$ پەستاندن و درێژکردنەوەی ئاسۆیی: $f(cx)$ و $f(x/c)$

Examples 3 and 4: $\sqrt{3x}$ and $\sqrt{x/3}$ نموونەی 3 و 4: $\sqrt{3x}$ و $\sqrt{x/3}$

Reflections: $-f(x)$ and $f(-x)$ وێنەدانەوە: $-f(x)$ و $f(-x)$

Examples 7–11 with $|x|$ نموونەکانی ⁦7–11⁩ بە $|x|$

Examples 12–17 with $x^2$ نموونەکانی ⁦12–17⁩ بە $x^2$