Chapterبەش 8 · Lectureوانە 8.3

Minterms, Maxterms and Truth Tablesمینتێرمەکان، ماکستێرمەکان و خشتەکانی ڕاستی

Every row of a truth table has one minterm (a product that is 1 only there) and one maxterm (a sum that is 0 only there). Learn to write and number them, to use Σm and ΠM, to see that both describe the same function, and to build truth tables from standard SOP and POS expressions.

هەموو ڕیزێکی یەک (لێکدانێک کە تەنها لەوێ 1ـە) و یەک (کۆیەک کە تەنها لەوێ 0ـە) هەیە. فێر دەبیت چۆن بیاننووسیت و ژمارەیان بۆ دابنێیت، Σm و ΠM بەکاربهێنیت، ببینیت هەردووکیان هەمان وەسف دەکەن و لە و ستانداردەوە دروست بکەیت.

15 min read16 خولەک خوێندنەوە · 15 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Write the minterm and the maxterm of any row and name them $m_i$ and $M_i$ .
Write a function as $\sum m(\ldots)$ and as $\prod M(\ldots)$ and convert between them.
Build the truth table of a standard SOP or POS expression.
Avoid the classic mistake of putting the bars on the wrong bits.

و هەر ڕیزێک بنووسیت و ناویان بنێیت $m_i$ و $M_i$ .
وەک $\sum m(\ldots)$ و وەک $\prod M(\ldots)$ بنووسیت و لە نێوانیاندا بیگۆڕیت.
یان ستاندارد دروست بکەیت.
خۆت لە هەڵە باوەکەی دانانی هێڵ لەسەر هەڵە بپارێزیت.

One row, one termیەک ڕیز، یەک بڕ

In a standard SOP or POS expression, every term contains every variable of the function, plain or with a bar. Such a term is tied to exactly one row of the truth table. A function of three variables has $2^3 = 8$ rows, so there are 8 of these product terms and 8 of these sum terms. They have names: minterms and maxterms. This lesson shows how to write them, how to name them with a number, and how to move between an expression and its truth table.

لە SOP یان POSـدا هەموو بڕێک هەموو لەخۆ دەگرێت، یان بە ساکاری یان بە هێڵێک لەسەریەوە. بڕێکی وا ڕێک بە یەک ڕیزی بەستراوە. بە سێ $2^3 = 8$ ڕیزی هەیە، بۆیە 8 وا و 8 وا هەن. ناوی تایبەتیان هەیە: و . ئەم وانەیە نیشانی دەدات چۆن دەیاننووسیت، چۆن بە ژمارەیەک ناویان دەنێیت و چۆن لە دەچیت بۆ و بە پێچەوانەوە.

A building with eight flatsباڵەخانەیەک بە هەشت شوقە

Picture a building with 8 flats, numbered 0 to 7 — one flat for each row of a 3-variable truth table. A minterm is like a parcel with a complete address: it reaches one flat only (it is 1 in one row and 0 everywhere else). A maxterm is like a planned power cut for one flat: every flat has electricity (1) except that one (0).

باڵەخانەیەک بهێنە بەرچاوت کە 8 شوقەی هەیە بە ژمارەی 0 تا 7 — بۆ هەر ڕیزێکی بە سێ شوقەیەک. وەک پاکەتێکە کە ناونیشانێکی تەواوی لەسەرە: تەنها دەگاتە یەک شوقە (لە یەک ڕیزدا 1ـە و لە هەموو شوێنێکی تردا ⁦0⁩). وەک بڕینی کارەبای پلاندارە بۆ یەک شوقە: هەموو شوقەکان کارەبایان هەیە ⁦(1)⁩ جگە لەو یەک شوقەیە ⁦(0)⁩.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

A real flat can receive many parcels. In logic each row has exactly one minterm and one maxterm, and a function has either a 1 or a 0 in that row, never both.

شوقەیەکی ڕاستەقینە دەتوانێت چەندین پاکەت وەربگرێت. لە لۆجیکدا هەر ڕیزێک ڕێک یەک و یەک هەیە و لەو ڕیزەدا یان 1ـە یان 0، هەرگیز هەردووکیان نا.

Minterms: equal to 1 in one rowمینتێرمەکان: تەنها لە یەک ڕیزدا 1

Definitionپێناسە

A product term that contains every variable once, plain or complemented, so it is 1 for exactly one input row. Row 101 gives the minterm $A\overline{B}C$ , written $m_5$ .

کە هەموو گۆڕاوێک تەنها یەک جار لەخۆ دەگرێت، ئاسایی یان بە تەواوکەر، بۆیە ڕێک بۆ یەک ڕیزی 1ـە. ڕیزی ⁦101⁩ مینتێرمی $A\overline{B}C$ دەدات کە بە $m_5$ دەنووسرێت.

To write the minterm of a row, look at its bits: a variable whose bit is 1 is written plain, a variable whose bit is 0 gets a bar. Take row 5, where $ABC = 101$ : A is 1, so write $A$ ; B is 0, so write $\overline{B}$ ; C is 1, so write $C$ . The minterm is $A\overline{B}C$ .

بۆ نووسینی ڕیزێک سەیری بکە: کە 1 بێت بە ساکاری دەنووسرێت، ئەوەی 0 بێت هێڵێکی لەسەر دادەنرێت. ڕیزی 5 وەربگرە کە تێیدا $ABC = 101$ : A یەکسانە بە 1، بۆیە $A$ بنووسە؛ B یەکسانە بە 0، بۆیە $\overline{B}$ بنووسە؛ C یەکسانە بە 1، بۆیە $C$ بنووسە. $A\overline{B}C$ ـە.

Why this works: a product (AND) is 1 only when every literal in it is 1. In row 101 the literals $A$ , $\overline{B}$ and $C$ are all 1, so $A\overline{B}C = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ . In every other row at least one literal is 0, and the product is 0. The minterm is named with the row number in decimal: $101_2 = 5$ , so $A\overline{B}C = m_5$ .

بۆچی ئەمە ڕاستە: لێکدان ⁦(AND)⁩ تەنها کاتێک 1ـە کە هەموو ناوی 1 بن. لە ڕیزی ⁦101⁩ـدا $A$ ، $\overline{B}$ و $C$ هەموویان 1ن، بۆیە $A\overline{B}C = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ . لە هەر ڕیزێکی تردا لانیکەم یەک 0ـە و لێکدانەکە دەبێتە 0. ناوی ژمارەی ڕیزەکەیە بە : $101_2 = 5$ ، بۆیە $A\overline{B}C = m_5$ .

The same row gives a minterm (bars on the 0s) and a maxterm (bars on the 1s).هەمان ڕیز دەدات (هێڵ لەسەر 0ـەکان) و (هێڵ لەسەر 1ـەکان).CêIT

Maxterms: equal to 0 in one rowماکستێرمەکان: تەنها لە یەک ڕیزدا 0

Definitionپێناسە

A sum term that contains every variable once, plain or complemented, so it is 0 for exactly one input row. Row 101 gives the maxterm $\overline{A} + B + \overline{C}$ , written $M_5$ .

کە هەموو گۆڕاوێک تەنها یەک جار لەخۆ دەگرێت، ئاسایی یان بە تەواوکەر، بۆیە ڕێک بۆ یەک ڕیزی 0ـە. ڕیزی ⁦101⁩ ماکستێرمی $\overline{A} + B + \overline{C}$ دەدات کە بە $M_5$ دەنووسرێت.

A maxterm uses the opposite rule: a variable whose bit is 0 is written plain, a variable whose bit is 1 gets a bar. For row 5 ( $ABC = 101$ ) the maxterm is $\overline{A}+B+\overline{C}$ , named $M_5$ with a capital M.

ڕێسای پێچەوانە بەکار دەهێنێت: کە 0 بێت بە ساکاری دەنووسرێت، ئەوەی 1 بێت هێڵی لەسەر دادەنرێت. بۆ ڕیزی 5 ( $ABC = 101$ ) $\overline{A}+B+\overline{C}$ ـە و ناوی $M_5$ ـە بە Mـی گەورە.

Why the rule is reversed: a sum (OR) is 0 only when every literal in it is 0. In row 101 we need each literal to be 0: $\overline{A} = 0$ because $A = 1$ , $B = 0$ , and $\overline{C} = 0$ because $C = 1$ . So $\overline{A}+B+\overline{C} = 0+0+0 = 0$ in this row. In any other row at least one literal is 1, and the sum is 1.

بۆچی ڕێساکە پێچەوانەیە: کۆ ⁦(OR)⁩ تەنها کاتێک 0ـە کە هەموو ناوی 0 بن. لە ڕیزی ⁦101⁩ـدا پێویستە هەر 0 بێت: $\overline{A} = 0$ چونکە $A = 1$ ، $B = 0$ و $\overline{C} = 0$ چونکە $C = 1$ . بۆیە لەم ڕیزەدا $\overline{A}+B+\overline{C} = 0+0+0 = 0$ . لە هەر ڕیزێکی تردا لانیکەم یەک 1ـە و کۆکە دەبێتە 1.

Minterm and maxterm are oppositesمینتێرم و ماکستێرم پێچەوانەی یەکترن

A maxterm is the complement of the minterm with the same number: $M_i = \overline{m_i}$ . You can check it with De Morgan's theorem: $\overline{A\overline{B}C} = \overline{A}+B+\overline{C}$ , which is $M_5$ . This is why $m_5$ is 1 in exactly the row where $M_5$ is 0.

ئەو کە هەمان ژمارەی هەیە: $M_i = \overline{m_i}$ . دەتوانیت بە سەلمێنراوی دی مۆرگان پشکنینی بۆ بکەیت: $\overline{A\overline{B}C} = \overline{A}+B+\overline{C}$ ، کە $M_5$ ـە. بۆیە $m_5$ ڕێک لەو ڕیزەدا 1ـە کە $M_5$ تێیدا 0ـە.

Quick checkپشکنینی خێراWhat is the maxterm of row 6 (

ABC = 110

)? ڕیزی 6 (

ABC = 110

) چییە؟

\overline{A}+\overline{B}+C

\overline{A}+\overline{B}+C

A+B+\overline{C}

A+B+\overline{C}

AB\overline{C}

AB\overline{C}

All eight minterms and maxtermsهەر هەشت مینتێرم و ماکستێرمەکە

Here is the complete list for three variables. Read each row both ways: the minterm bars the 0s, the maxterm bars the 1s.

ئەمە لیستی تەواوە بۆ سێ . هەر ڕیزێک بە هەردوو ڕێگاکە بخوێنەوە: هێڵ لەسەر 0ـەکان دادەنێت و لەسەر 1ـەکان.

Minterms and maxterms of three variables و سێ
Rowڕیز	$A$	$B$	$C$	Minterm (= 1 in this row) (لەم ڕیزەدا = ⁦1⁩)	Maxterm (= 0 in this row) (لەم ڕیزەدا = ⁦0⁩)
0	$0$	$0$	$0$	$\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C} = m_0$	$A+B+C = M_0$
1	$0$	$0$	$1$	$\overline{A}\,\overline{B}C = m_1$	$A+B+\overline{C} = M_1$
2	$0$	$1$	$0$	$\overline{A}B\overline{C} = m_2$	$A+\overline{B}+C = M_2$
3	$0$	$1$	$1$	$\overline{A}BC = m_3$	$A+\overline{B}+\overline{C} = M_3$
4	$1$	$0$	$0$	$A\overline{B}\,\overline{C} = m_4$	$\overline{A}+B+C = M_4$
5	$1$	$0$	$1$	$A\overline{B}C = m_5$	$\overline{A}+B+\overline{C} = M_5$
6	$1$	$1$	$0$	$AB\overline{C} = m_6$	$\overline{A}+\overline{B}+C = M_6$
7	$1$	$1$	$1$	$ABC = m_7$	$\overline{A}+\overline{B}+\overline{C} = M_7$

With four variables A, B, C and D there are 16 rows, $m_0$ to $m_{15}$ and $M_0$ to $M_{15}$ . The rules do not change: $A\overline{B}\,\overline{C}D$ → 1001 → $m_9$ . The order of the variables matters: A is always the leftmost bit (the most significant one).

بە چوار A، B، C و D، ⁦16⁩ ڕیز هەن: $m_0$ تا $m_{15}$ و $M_0$ تا $M_{15}$ . ڕێساکان ناگۆڕێن: $A\overline{B}\,\overline{C}D \to 1001 \to m_9$ . ڕیزبەندیی گرنگە: A هەمیشە لای چەپە ().

Quick checkپشکنینی خێراWith four variables, which maxterm is

\overline{A}+B+C+\overline{D}

?بە چوار ،

\overline{A}+B+C+\overline{D}

کام ؟

M_9

M_9

M_{15}

M_{15}

M_6

M_6

Standard SOP = a sum of mintermsSOPـی ستاندارد = کۆی مینتێرمەکان

Every term of a standard SOP expression is a minterm, so a standard SOP is simply a sum of minterms, also called the minterm expansion of the function. You already know from Standard SOP and POS Forms that a standard SOP has one product term for each row where the function is 1. Now each of those terms has a name and a number, so the whole function fits in one short line.

هەموو بڕێکی ، بۆیە ستاندارد بە سادەیی کۆی ، کە پێی دەوترێت فراوانکردنی . لە SOP و POSـی ستاندارد دەزانیت کە ستاندارد بۆ هەر ڕیزێک کە تێیدا 1 بێت هەیە. ئێستا هەر یەکێک لەو بڕانە ناو و ژمارەیەکی هەیە، بۆیە هەموو لە دێڕێکی کورتدا جێ دەبێتەوە.

From a standard SOP to Σ notationلە کۆی لێکدانەکانی ستانداردەوە بۆ نووسینی Σ

Start from the standard SOP of the course notes:
لە ستانداردی تێبینییەکانی کۆرسەکەوە دەست پێ بکە:
$f(A,B,C) = \overline{A}BC + A\overline{B}\,\overline{C} + A\overline{B}C + AB\overline{C} + ABC$
Write each term as bits (plain = 1, bar = 0), then as a row number:
هەر بڕێک وەک بنووسە (ساکار = 1، هێڵدار = ⁦0⁩) و پاشان وەک ژمارەی ڕیز:
$011 + 100 + 101 + 110 + 111 = m_3 + m_4 + m_5 + m_6 + m_7$
Another way to see it: every minterm appears with a coefficient, and the coefficient is the output in that row (0 = left out, 1 = kept):
ڕێگایەکی تر بۆ بینینی: هەموو هاوکۆلکەیەکی هەیە و هاوکۆلکەکە ئەو ڕیزەیە (⁦0⁩ = لادەبرێت، 1 = دەمێنێتەوە):
$f = 0\cdot m_0 + 0\cdot m_1 + 0\cdot m_2 + 1\cdot m_3 + 1\cdot m_4 + 1\cdot m_5 + 1\cdot m_6 + 1\cdot m_7$
Write it short with Σ ("sum of minterms"):
بە Σ کورتی بنووسەوە («کۆی »):
$f(A,B,C) = \sum m(3, 4, 5, 6, 7)$

Quick checkپشکنینی خێراWhich expression is

f(A,B,C) = \sum m(0, 7)

?

f(A,B,C) = \sum m(0, 7)

کام ؟

(A+B+C)(\overline{A}+\overline{B}+\overline{C})

(A+B+C)(\overline{A}+\overline{B}+\overline{C})

A + B + C

A + B + C

\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C} + ABC

\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C} + ABC

Standard POS = a product of maxtermsPOSـی ستاندارد = لێکدانی ماکستێرمەکان

Every sum term of a standard POS expression is a maxterm, so a standard POS is a product of maxterms (the maxterm expansion). The function is 0 exactly in the rows of its maxterms and 1 in all the others.

هەموو ، بۆیە ستاندارد لێکدانی (فراوانکردنی ). ڕێک لە ڕیزەکانی خۆیدا 0ـە و لە هەموو ڕیزەکانی تردا 1.

From a standard POS to Π notationلە لێکدانی کۆکانی ستانداردەوە بۆ نووسینی Π

Start from the standard POS of the course notes:
لە ستانداردی تێبینییەکانی کۆرسەکەوە دەست پێ بکە:
$f(A,B,C) = (A+B+C)(A+B+\overline{C})(A+\overline{B}+C)$
Write each sum term as bits (plain = 0, bar = 1), then as a row number:
هەر وەک بنووسە (ساکار = 0، هێڵدار = ⁦1⁩) و پاشان وەک ژمارەی ڕیز:
$(000)(001)(010) = M_0 \cdot M_1 \cdot M_2$
Write it short with Π ("product of maxterms"):
بە Π کورتی بنووسەوە («لێکدانی »):
$f(A,B,C) = \prod M(0, 1, 2)$

Fixing the coefficient form of maxtermsڕاستکردنەوەی شێوەی هاوکۆلکە بۆ ماکستێرمەکان

The slide also writes this function as $f = 1M_0 \cdot 1M_1 \cdot 1M_2 \cdot 0M_3 \cdots 0M_7$ . That cannot be right: a factor $0 \cdot M_3$ is always 0, and one 0 in a product makes the whole function 0. For maxterms the output value is added to each maxterm, not multiplied: $0 + M_i = M_i$ keeps the maxterm, and $1 + M_i = 1$ removes it from the product.

سلایدەکە هەمان بەم شێوەیەش دەنووسێت: $f = 1M_0 \cdot 1M_1 \cdot 1M_2 \cdot 0M_3 \cdots 0M_7$ . ئەمە ناکرێت ڕاست بێت: $0 \cdot M_3$ هەمیشە 0ـە و یەک 0 لە لێکدانێکدا هەموو دەکات بە 0. بۆ بەهای لەگەڵ هەر کۆ دەکرێتەوە، نەک لێک بدرێت: $0 + M_i = M_i$ دەهێڵێتەوە و $1 + M_i = 1$ لە لێکدانەکە لای دەبات.

f = (0+M_0)(0+M_1)(0+M_2)(1+M_3)(1+M_4)(1+M_5)(1+M_6)(1+M_7) = M_0 \cdot M_1 \cdot M_2

One function, two descriptionsیەک نەخشەی بوولی، دوو وەسف

Put the two examples side by side: $\sum m(3, 4, 5, 6, 7)$ and $\prod M(0, 1, 2)$ are the same function. The minterm list names the rows where $f = 1$ ; the maxterm list names all the other rows, where $f = 0$ . Together the two lists contain every row number once, and no number is in both.

دوو نموونەکە لە تەنیشت یەک دابنێ: $\sum m(3, 4, 5, 6, 7)$ و $\prod M(0, 1, 2)$ هەمان . لیستی ئەو ڕیزانە دەڵێت کە $f = 1$ ؛ لیستی هەموو ڕیزەکانی تر دەڵێت کە $f = 0$ . هەردوو لیستەکە پێکەوە هەموو ژمارەیەکی ڕیز یەک جار لەخۆ دەگرن و هیچ ژمارەیەک لە هەردووکیاندا نییە.

Animation: a cursor walks down the 8-row truth table of f, whose outputs are 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1. At each row the matching term is written beside it: for rows 0 to 2, where f = 0, the maxterms M0 = A + B + C, M1 = A + B + C-bar and M2 = A + B-bar + C in orange; for rows 3 to 7, where f = 1, the minterms m3 to m7 in green. The last frame shows f = m3 + m4 + m5 + m6 + m7 = Σm(3, 4, 5, 6, 7) and f = M0 · M1 · M2 = ΠM(0, 1, 2). — Every row is either a minterm of f ( $f = 1$ ) or a maxterm of f ( $f = 0$ ).هەر ڕیزێک یان fـە ( $f = 1$ ) یان fـە ( $f = 0$ ).CêIT

So converting is easy: to go from Σm to ΠM (or back), write the row numbers that are missing from the list. This is the same idea as converting a standard SOP into a standard POS in the previous lesson, written with numbers instead of terms.

بۆیە گۆڕین ئاسانە: بۆ چوون لە Σm بۆ ΠM (یان بە پێچەوانەوە) ئەو ژمارانەی ڕیز بنووسە کە لە لیستەکەدا نین. ئەمە هەمان بیرۆکەی گۆڕینی ستانداردە بۆ ستاندارد لە وانەی پێشوو، بەڵام بە ژمارە لە جیاتی بڕ.

Quick checkپشکنینی خێراA 3-variable function is

f = \sum m(1, 2, 6)

. Which product of maxterms is the same function? بە سێ

f = \sum m(1, 2, 6)

ـە. کام لێکدانی هەمان ؟

\prod M(0, 3, 4, 5, 7)

\prod M(0, 3, 4, 5, 7)

\prod M(0, 3, 4, 5, 6, 7)

\prod M(0, 3, 4, 5, 6, 7)

\prod M(1, 2, 6)

\prod M(1, 2, 6)

From a standard SOP to a truth tableلە کۆی لێکدانەکانی ستانداردەوە بۆ خشتەی ڕاستی

Here you go from a standard expression to its truth table — the opposite of reading the standard forms off a truth table. Because every term is a minterm, each term marks exactly one row.

لێرەدا لە ستانداردەوە دەچیت بۆ — پێچەوانەی خوێندنەوەی شێوە ستانداردەکان لە خشتەی ڕاستییەوە. چونکە هەموو بڕێک ، هەر بڕێک ڕێک یەک ڕیز دیاری دەکات.

Methodڕێگا

Write the binary value of each product term: a plain variable is 1, a barred one is 0.
بەهای هەر بنووسە: ساکار 1ـە و هێڵدار 0.
Put a 1 in the output column of each of those rows.
لە ستوونی هەر یەکێک لەو ڕیزانەدا 1 دابنێ.
Put a 0 in every other row.
لە هەموو ڕیزەکانی تردا 0 دابنێ.

Example (Q8 i of the course): $X = \overline{A}\,\overline{B}C + A\overline{B}\,\overline{C} + ABC$ . The terms are 001, 100 and 111, so $X = 1$ in rows 1, 4 and 7: $X = \sum m(1, 4, 7)$ .

نموونە (پرسیاری ⁦Q8 i⁩ـی کۆرسەکە): $X = \overline{A}\,\overline{B}C + A\overline{B}\,\overline{C} + ABC$ . بڕەکان ⁦001⁩، ⁦100⁩ و ⁦111⁩ن، بۆیە X لە ڕیزەکانی 1، 4 و 7دا 1ـە: $X = \sum m(1, 4, 7)$ .

Truth table of Q8 i ⁦Q8 i⁩
Rowڕیز	$A$	$B$	$C$	$X$
0	0	0	0	0
1	0	0	1	1
2	0	1	0	0
3	0	1	1	0
4	1	0	0	1
5	1	0	1	0
6	1	1	0	0
7	1	1	1	1

From a standard POS to a truth tableلە لێکدانی کۆکانی ستانداردەوە بۆ خشتەی ڕاستی

Methodڕێگا

Write the binary value of each sum term: a plain variable is 0, a barred one is 1.
بەهای هەر بنووسە: ساکار 0ـە و هێڵدار 1.
Put a 0 in the output column of each of those rows.
لە ستوونی هەر یەکێک لەو ڕیزانەدا 0 دابنێ.
Put a 1 in every other row.
لە هەموو ڕیزەکانی تردا 1 دابنێ.

Example (Q9 ii of the course): $X = (A+\overline{B}+C)(A+B+\overline{C})(\overline{A}+\overline{B}+\overline{C})$ . The sum terms are 010, 001 and 111, so $X = 0$ in rows 2, 1 and 7, and $X = 1$ in rows 0, 3, 4, 5 and 6: $X = \prod M(1, 2, 7) = \sum m(0, 3, 4, 5, 6)$ .

نموونە (پرسیاری ⁦Q9 ii⁩ـی کۆرسەکە): $X = (A+\overline{B}+C)(A+B+\overline{C})(\overline{A}+\overline{B}+\overline{C})$ . ⁦010⁩، ⁦001⁩ و ⁦111⁩ن، بۆیە X لە ڕیزەکانی 2، 1 و 7دا 0ـە و لە ڕیزەکانی 0، 3، 4، 5 و 6دا 1ـە: $X = \prod M(1, 2, 7) = \sum m(0, 3, 4, 5, 6)$ .

Truth table of Q9 ii ⁦Q9 ii⁩
Rowڕیز	$A$	$B$	$C$	$X$
0	0	0	0	1
1	0	0	1	0
2	0	1	0	0
3	0	1	1	1
4	1	0	0	1
5	1	0	1	1
6	1	1	0	1
7	1	1	1	0

Quick checkپشکنینی خێراFor which input is

(A+B+C)(\overline{A}+B+C)

equal to 0?

(A+B+C)(\overline{A}+B+C)

بۆ کام یەکسانە بە 0؟

ABC = 000

and

ABC = 100

ABC = 000

و

ABC = 100

ABC = 111

and

ABC = 011

ABC = 111

و

ABC = 011

Only

ABC = 000

تەنها

ABC = 000

A class quiz and its classic mistakeتاقیکردنەوەیەکی پۆل و هەڵە باوەکەی

A short class quiz asked: determine the truth table of $X = (A+B+C)(A+B+\overline{C})(A+\overline{B}+\overline{C})(\overline{A}+B+C)(\overline{A}+\overline{B}+C)$ . The course author's answer started with the right plan: "the expression is POS, so we have to determine its maxterms". Write the maxterm of every row, mark the ones that appear in X — there $X = 0$ — and every other row is 1.

تاقیکردنەوەیەکی کورتی پۆل پرسیبووی: ئەمە دیاری بکە: $X = (A+B+C)(A+B+\overline{C})(A+\overline{B}+\overline{C})(\overline{A}+B+C)(\overline{A}+\overline{B}+C)$ . وەڵامەکەی خاوەنی کۆرسەکە بە پلانێکی دروست دەستی پێ کرد: « POSـە، بۆیە دەبێت دیاری بکەین». هەموو ڕیزێک بنووسە، ئەوانەی لە Xـدا هەن نیشانە بکە — لەوێدا $X = 0$ — و هەموو ڕیزەکانی تر 1ن.

The quiz answer: five maxterms, so five 0sوەڵامی تاقیکردنەوەکە: پێنج ، بۆیە پێنج 0
Rowڕیز	$ABC$	Maxterm of the row ڕیزەکە	In X?لە Xـدا هەیە؟	$X$
0	$000$	$A+B+C = M_0$	yesبەڵێ	0
1	$001$	$A+B+\overline{C} = M_1$	yesبەڵێ	0
2	$010$	$A+\overline{B}+C = M_2$	noنەخێر	1
3	$011$	$A+\overline{B}+\overline{C} = M_3$	yesبەڵێ	0
4	$100$	$\overline{A}+B+C = M_4$	yesبەڵێ	0
5	$101$	$\overline{A}+B+\overline{C} = M_5$	noنەخێر	1
6	$110$	$\overline{A}+\overline{B}+C = M_6$	yesبەڵێ	0
7	$111$	$\overline{A}+\overline{B}+\overline{C} = M_7$	noنەخێر	1

So $X = \prod M(0, 1, 3, 4, 6) = \sum m(2, 5, 7)$ : X is 1 only for 010, 101 and 111.

کەواتە $X = \prod M(0, 1, 3, 4, 6) = \sum m(2, 5, 7)$ : X تەنها بۆ ⁦010⁩، ⁦101⁩ و ⁦111⁩ یەکسانە بە 1.

Quick checkپشکنینی خێراThe quiz function is

X = \prod M(0, 1, 3, 4, 6)

. For which inputs is

X = 1

? تاقیکردنەوەکە

X = \prod M(0, 1, 3, 4, 6)

ـە. X بۆ کام یەکسانە بە 1؟

ABC = 010

,

101

and

111

ABC = 010

،

101

و

111

Only

ABC = 111

تەنها

ABC = 111

ABC = 000

,

001

,

011

,

100

and

110

ABC = 000

،

001

،

011

،

100

و

110

A class quiz and its classic mistakeتاقیکردنەوەیەکی پۆل و هەڵە باوەکەی

The classic mistake: bars on the wrong bitsهەڵە باوەکە: هێڵ لەسەر بیتەکانی هەڵە

The classic mistakeهەڵە باوەکە

The corrected quiz paper shows the most common slip: writing a row's sum term with the bars in the wrong places, for example row 010 written as $\overline{A}+B+\overline{C}$ and called a minterm. But $\overline{A}+B+\overline{C}$ is a sum, so it can only be a maxterm — and it is $M_5$ , the maxterm of row 101. Row 010 has the maxterm $A+\overline{B}+C$ . Rule: a maxterm puts bars on the 1 bits, a minterm puts bars on the 0 bits. Check: put the row's bits into your term — a maxterm must give 0, a minterm must give 1.

پەڕەی ڕاستکراوەی تاقیکردنەوەکە باوترین هەڵە نیشان دەدات: نووسینی ڕیزێک بە هێڵ لە شوێنی هەڵەدا، بۆ نموونە ڕیزی ⁦010⁩ وەک $\overline{A}+B+\overline{C}$ نووسراوە و بە ناو نراوە. بەڵام $\overline{A}+B+\overline{C}$ کۆیە، بۆیە تەنها دەتوانێت بێت — و ئەویش $M_5$ ـە، ڕیزی ⁦101⁩. ڕیزی ⁦010⁩ $A+\overline{B}+C$ ـە. ڕێسا: هێڵ لەسەر 1 دادەنێت و لەسەر 0. پشکنین: ڕیزەکە بخەرە ناو بڕەکەتەوە — دەبێت 0 بدات و دەبێت 1 بدات.

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Fixچارەسەر
Using the minterm rule for a maxterm (bars on the 0s).بەکارهێنانی ڕێسای بۆ (هێڵ لەسەر 0ـەکان).	Maxterm: bars on the 1s. Row 101 → $\overline{A}+B+\overline{C}$ .: هێڵ لەسەر 1ـەکان. ڕیزی ⁦101⁩ ← $\overline{A}+B+\overline{C}$ .
Calling a sum term a minterm, or a product term a maxterm.ناونانی بە ، یان بە .	Minterms are products (AND), maxterms are sums (OR) — always. لێکدانن ⁦(AND)⁩ و کۆن ⁦(OR)⁩ — هەمیشە.
Writing $\sum m$ and $\prod M$ with the same numbers for one function.نووسینی $\sum m$ و $\prod M$ بە هەمان ژمارەکان بۆ یەک .	The maxterm numbers are the rows missing from the minterm list.ژمارەکانی ئەو ڕیزانەن کە لە لیستی نین.
Multiplying coefficients into maxterms ( $0 \cdot M_3$ ).لێکدانی هاوکۆلکە لەگەڵ ( $0 \cdot M_3$ ).	Add them: $(f_i + M_i)$ . Or simply write $\prod M(\ldots)$ .کۆیان بکەرەوە: $(f_i + M_i)$ . یان بە سادەیی $\prod M(\ldots)$ بنووسە.
Reading the variables in a different order (C as the leftmost bit).خوێندنەوەی بە ڕیزبەندییەکی تر (C وەک لای چەپ).	Keep the order A, B, C (, D): A is the leftmost bit of the row number.ڕیزبەندیی A، B، C (، D) بپارێزە: A لای چەپی ژمارەی ڕیزەکەیە.

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانQ4 — where is a standard SOP equal to 1?⁦Q4⁩ — کۆی لێکدانەکانی ستاندارد لە کوێدا یەکسانە بە 1؟

Determine the binary values for which each standard SOP expression is equal to 1: (a) $ABCD + A\overline{B}\,\overline{C}D + \overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D}$ (b) $\overline{X}YZ + X\overline{Y}Z + XY\overline{Z} + \overline{X}Y\overline{Z} + XYZ$

بۆ هەر یەکێک لەم SOPـە ستانداردانە، ئەو بەها دیاری بکە کە تێیاندا یەکسانە بە 1: (أ) $ABCD + A\overline{B}\,\overline{C}D + \overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D}$ (ب) $\overline{X}YZ + X\overline{Y}Z + XY\overline{Z} + \overline{X}Y\overline{Z} + XYZ$

Hintئاماژە

Each minterm gives one binary value: plain = 1, bar = 0.

هەر یەک بەهای دەدات: ساکار = 1، هێڵدار = 0.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(a) 1111, 1001 and 0000, so $\sum m(0, 9, 15)$ . (b) 011, 101, 110, 010 and 111, so $\sum m(2, 3, 5, 6, 7)$ .

(أ) ⁦1111⁩، ⁦1001⁩ و ⁦0000⁩، کەواتە $\sum m(0, 9, 15)$ . (ب) ⁦011⁩، ⁦101⁩، ⁦110⁩، ⁦010⁩ و ⁦111⁩، کەواتە $\sum m(2, 3, 5, 6, 7)$ .

Q6 asks the wrong questionپرسیاری ⁦Q6⁩ هەڵە دەپرسێت

Question Q6 in the course notes asks for "the binary values for which the standard SOP expression is equal to 1", but its expressions are products of sum terms — standard POS. The question must read: for which binary values is the standard POS expression equal to 0? A standard POS is 0 exactly in the rows of its maxterms.

پرسیاری ⁦Q6⁩ لە تێبینییەکانی کۆرسەکەدا داوای «ئەو بەها دەکات کە ستاندارد تێیاندا یەکسانە بە 1»، بەڵام پرسیارەکە لێکدانی — واتە ستاندارد. پرسیارەکە دەبێت ئاوا بێت: بۆ کام بەها ستاندارد یەکسانە بە 0؟ ستاندارد ڕێک لە ڕیزەکانی خۆیدا 0ـە.

ExerciseڕاهێنانQ6 — where is a standard POS equal to 0?⁦Q6⁩ — لێکدانی کۆکانی ستاندارد لە کوێدا یەکسانە بە 0؟

Determine the binary values for which each standard POS expression is equal to 0: (a) $(A+B+C+D)(A+\overline{B}+\overline{C}+D)(\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}+\overline{D})$ (b) $(X+\overline{Y}+Z)(\overline{X}+Y+Z)(\overline{X}+\overline{Y}+\overline{Z})(X+Y+\overline{Z})(X+\overline{Y}+\overline{Z})$

بۆ هەر یەکێک لەم POSـە ستانداردانە، ئەو بەها دیاری بکە کە تێیاندا یەکسانە بە 0: (أ) $(A+B+C+D)(A+\overline{B}+\overline{C}+D)(\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}+\overline{D})$ (ب) $(X+\overline{Y}+Z)(\overline{X}+Y+Z)(\overline{X}+\overline{Y}+\overline{Z})(X+Y+\overline{Z})(X+\overline{Y}+\overline{Z})$

Hintئاماژە

Each maxterm gives one binary value: plain = 0, bar = 1.

هەر یەک بەهای دەدات: ساکار = 0، هێڵدار = 1.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(a) 0000, 0110 and 1111, so $\prod M(0, 6, 15)$ . (b) 010, 100, 111, 001 and 011, so $\prod M(1, 2, 3, 4, 7)$ .

(أ) ⁦0000⁩، ⁦0110⁩ و ⁦1111⁩، کەواتە $\prod M(0, 6, 15)$ . (ب) ⁦010⁩، ⁦100⁩، ⁦111⁩، ⁦001⁩ و ⁦011⁩، کەواتە $\prod M(1, 2, 3, 4, 7)$ .

ExerciseڕاهێنانQ8 ii — truth table from a standard SOP⁦Q8 ii⁩ — خشتەی ڕاستی لە کۆی لێکدانەکانی ستانداردەوە

Develop the truth table of $X = \overline{A}B\overline{C} + A\overline{B}C + ABC$ .

$X = \overline{A}B\overline{C} + A\overline{B}C + ABC$ دروست بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Rowڕیز	$A$	$B$	$C$	$X$
0	0	0	0	0
1	0	0	1	0
2	0	1	0	1
3	0	1	1	0
4	1	0	0	0
5	1	0	1	1
6	1	1	0	0
7	1	1	1	1

$X = 1$ for 010, 101 and 111: $X = \sum m(2, 5, 7)$ . Notice that this is the same function as the class quiz above — the quiz wrote it as a product of maxterms.

X بۆ ⁦010⁩، ⁦101⁩ و ⁦111⁩ یەکسانە بە 1: $X = \sum m(2, 5, 7)$ . سەرنج بدە کە ئەمە هەمان تاقیکردنەوەکەی سەرەوەیە — تاقیکردنەوەکە وەک لێکدانی نووسیبووی.

ExerciseڕاهێنانQ9 i — truth table from a standard POS⁦Q9 i⁩ — خشتەی ڕاستی لە لێکدانی کۆکانی ستانداردەوە

Determine the truth table of $X = (A+B+C)(A+\overline{B}+C)(A+\overline{B}+\overline{C})(\overline{A}+B+\overline{C})(\overline{A}+\overline{B}+C)$ .

$X = (A+B+C)(A+\overline{B}+C)(A+\overline{B}+\overline{C})(\overline{A}+B+\overline{C})(\overline{A}+\overline{B}+C)$ دیاری بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Rowڕیز	$A$	$B$	$C$	$X$
0	0	0	0	0
1	0	0	1	1
2	0	1	0	0
3	0	1	1	0
4	1	0	0	1
5	1	0	1	0
6	1	1	0	0
7	1	1	1	1

The maxterms are $M_0, M_2, M_3, M_5, M_6$ , so $X = 0$ for 000, 010, 011, 101, 110 and $X = 1$ for 001, 100, 111: $X = \prod M(0, 2, 3, 5, 6) = \sum m(1, 4, 7)$ . Compare with Q8 i: it is the same function, once as a sum of minterms and once as a product of maxterms.

$M_0, M_2, M_3, M_5, M_6$ ن، بۆیە X بۆ ⁦000⁩، ⁦010⁩، ⁦011⁩، ⁦101⁩، ⁦110⁩ یەکسانە بە 0 و بۆ ⁦001⁩، ⁦100⁩، ⁦111⁩ یەکسانە بە 1: $X = \prod M(0, 2, 3, 5, 6) = \sum m(1, 4, 7)$ . بەراوردی بکە لەگەڵ ⁦Q8 i⁩: هەمان ، جارێک وەک کۆی و جارێک وەک لێکدانی .

ExerciseڕاهێنانBoth waysبە هەردوو ڕێگا

A function has the truth table of Q9 ii ( $X = 1$ in rows 0, 3, 4, 5 and 6). Write it (a) as a sum of minterms in Σ notation and as an expression, (b) as a product of maxterms in Π notation.

⁦Q9 ii⁩ـی هەیە (X لە ڕیزەکانی 0، 3، 4، 5 و 6دا 1ـە). بینووسە (أ) وەک کۆی بە نووسینی Σ و وەک ، (ب) وەک لێکدانی بە نووسینی Π.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{aligned} X &= \sum m(0, 3, 4, 5, 6) = \overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C} + \overline{A}BC + A\overline{B}\,\overline{C} + A\overline{B}C + AB\overline{C} \\ X &= \prod M(1, 2, 7) = (A+B+\overline{C})(A+\overline{B}+C)(\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}) \end{aligned}

ExerciseڕاهێنانFour variablesچوار گۆڕاوی بوولی

With the variables A, B, C, D: (a) which minterm is $\overline{A}B\overline{C}D$ ? (b) Write the maxterm $M_{12}$ .

بە A، B، C، D: (أ) $\overline{A}B\overline{C}D$ کام ؟ (ب) $M_{12}$ بنووسە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(a) $0101_2 = 5$ , so $m_5$ . (b) $12 = 1100_2$ ; in a maxterm the 1s get bars: $M_{12} = \overline{A}+\overline{B}+C+D$ .

(أ) $0101_2 = 5$ ، کەواتە $m_5$ . (ب) $12 = 1100_2$ ؛ لە 1ـەکان هێڵیان لەسەر دادەنرێت: $M_{12} = \overline{A}+\overline{B}+C+D$ .

Summaryپوختە

A minterm is a product of all the variables that is 1 in exactly one row: bars on the 0 bits. Row 101 → $A\overline{B}C = m_5$ .
A maxterm is a sum of all the variables that is 0 in exactly one row: bars on the 1 bits. Row 101 → $\overline{A}+B+\overline{C} = M_5$ .
n variables give $2^n$ minterms and $2^n$ maxterms; $M_i = \overline{m_i}$ .
Standard SOP = sum of minterms, $\sum m(\ldots)$ : the rows where $f = 1$ . Standard POS = product of maxterms, $\prod M(\ldots)$ : the rows where $f = 0$ .
The two lists of one function are complements of each other: $\sum m(3,4,5,6,7) = \prod M(0,1,2)$ .
Truth table from a standard SOP: 1 in the minterm rows, 0 elsewhere. From a standard POS: 0 in the maxterm rows, 1 elsewhere.
Next, Karnaugh maps put the minterm numbers into a grid to simplify a function by sight.

لێکدانی هەموو کە ڕێک لە یەک ڕیزدا 1ـە: هێڵ لەسەر 0. ڕیزی ⁦101⁩ ← $A\overline{B}C = m_5$ .
کۆی هەموو کە ڕێک لە یەک ڕیزدا 0ـە: هێڵ لەسەر 1. ڕیزی ⁦101⁩ ← $\overline{A}+B+\overline{C} = M_5$ .
n $2^n$ و $2^n$ دەدەن؛ $M_i = \overline{m_i}$ .
ستاندارد = کۆی ، $\sum m(\ldots)$ : ئەو ڕیزانەی $f = 1$ . ستاندارد = لێکدانی ، $\prod M(\ldots)$ : ئەو ڕیزانەی $f = 0$ .
دوو لیستەکەی یەک تەواوکەری یەکترن: $\sum m(3,4,5,6,7) = \prod M(0,1,2)$ .
لە ستانداردەوە: 1 لە ڕیزەکانی ، 0 لە شوێنی تر. لە ستانداردەوە: 0 لە ڕیزەکانی ، 1 لە شوێنی تر.
دواتر، نەخشەکانی کارنۆ ژمارەکانی دەخەنە ناو تۆڕێکەوە بۆ ئەوەی بە چاو کورت بکەیتەوە.

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why does a minterm put bars on the 0 bits?بۆچی مینتێرم هێڵ لەسەر بیتەکانی 0 دادەنێت؟

Because an AND is 1 only when every literal is 1; a barred variable is 1 exactly when its bit is 0.

چونکە AND تەنها کاتێک 1ـە کە هەموو 1 بێت؛ هێڵدار ڕێک کاتێک 1ـە کە 0 بێت.

A 3-variable function is

\prod M(0, 2, 4, 6)

. Write it with Σ.نەخشەیەکی بوولی بە سێ گۆڕاوی بوولی

\prod M(0, 2, 4, 6)

ـە. بە Σ بینووسە.

$\sum m(1, 3, 5, 7)$ — the missing rows. (It is simply C.)

$\sum m(1, 3, 5, 7)$ — ئەو ڕیزانەی نین. (بە سادەیی Cـە.)

How do you check that a sum term is the maxterm of a row?چۆن پشکنین دەکەیت کە بڕێکی کۆ ماکستێرمی ڕیزێکە؟

Put the row's bits into it: the result must be 0.

ڕیزەکە بخەرە ناوی: ئەنجامەکە دەبێت 0 بێت.

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

ستاندەر فۆرمەکان { pos, sop, min term, max term } ەکانAram Rafeq · Kurdish (Sorani)کوردی (سۆرانی) · 2K viewsبینین · 54 likesلایک · Partبەشی 7:36–13:58 (ofلە 13:58)
Kurdish (Sorani): SOP and POS shapes, the domain of an expression and expanding the terms into standard SOP and POS.
بە کوردیی سۆرانی: شێوەکانی SOP و POS، و فراوانکردنی و بۆ SOP و POS.
In Sorani, from 7:36: the minterm (m0 …) and maxterm (M0 …) of every row of a truth table, and the SOP and POS they give.
بە سۆرانی، لە ⁦7:36⁩ـەوە: بۆ هەموو دێڕێکی (⁦m0⁩ …) و (⁦M0⁩ …) دەنووسێت، پاشان ئەو SOP و POSـەی لێیانەوە دروست دەبن.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

From Expression to Circuit and Backلە دەربڕینی بوولییەوە بۆ سووڕ و بە پێچەوانەوە

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

Wikipedia: Canonical normal form (minterms and maxterms)
MIT OpenCourseWare 6.004 Computation Structures (Spring 2017), 4.1 Annotated slides: combinational logic, sum of products
T. L. Floyd, Digital Fundamentals, 11th ed., §4-7 Boolean expressions and truth tables (Pearson, 2015) — topic order only

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.