Chapterبەش 2 · Lectureوانە 2.10

Quartiles, Percentiles and Box Plots (Supplementary)چواریەکەکان، سەدیەکەکان و هێڵکارییە سندووقییەکان (زیادە)

A supplementary lesson: quartiles and percentiles of sorted data, the interquartile range and the $1.5 \times \mathrm{IQR}$ outlier rule, the five-number summary and box plots — built step by step and used to compare two groups — with grouped quartiles and Python's statistics.quantiles (and why its answers can differ).

وانەیەکی زیادە: و ڕیزکراو، و یاسای $1.5 \times \mathrm{IQR}$ بۆ ، و — هەنگاو بە هەنگاو دروست دەکرێن و بۆ بەراوردی دوو گرووپ بەکار دێن — لەگەڵ و statistics.quantilesـی Python (و بۆچی وەڵامەکانی دەکرێت جیاواز بن).

15 min read15 خولەک خوێندنەوە · 18 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Find the quartiles and percentiles of a data set and explain what a percentile means.
Compute the IQR and use the $1.5 \times \mathrm{IQR}$ rule to spot outliers.
Draw and read a box plot, and compare groups with box plots on one scale.
Use statistics.quantiles in Python and explain why quartile methods differ.

و کۆمەڵە بدۆزیتەوە و ڕوونی بکەیتەوە واتای چییە.
بژمێریت و یاسای $1.5 \times \mathrm{IQR}$ بۆ ناسینەوەی بەکار بهێنیت.
بکێشیت و بیخوێنیتەوە و گرووپەکان بە لەسەر یەک پێوانە بەراورد بکەیت.
statistics.quantiles لە Pythonـدا بەکار بهێنیت و ڕوونی بکەیتەوە بۆچی ڕێگاکانی جیاوازن.

Cutting the data into quartersبڕینی دراوەکە بۆ چوار بەش

The median cuts sorted data into two halves. Cut each half again and you get quartiles: three values that split the data into four parts with about a quarter of the values in each. In the same way, percentiles cut the data into a hundred parts.

ناوەڕاستە ڕیزکراو دەکاتە دوو نیوە. هەر نیوەیەک دووبارە ببڕە، دەدۆزیتەوە: سێ نرخ کە دەکەنە چوار بەش و لە هەر بەشێکدا نزیکەی چارەکێکی نرخەکان هەیە. بە هەمان شێوە، دەکەنە سەد بەش.

Definitionپێناسە

One of three values that cut sorted data into four equal parts: $Q_1$ (25%), $Q_2$ (the ) and $Q_3$ (75%).

یەکێکە لەو سێ نرخەی کە دراوەی ڕیزکراو دەکەن بە چوار بەشی یەکسان: $Q_1$ ⁦(25%)⁩، $Q_2$ () و $Q_3$ ⁦(75%)⁩.

Q_1\ (25\%) \qquad Q_2 = M_e\ (50\%) \qquad Q_3\ (75\%)

Quick checkپشکنینی خێراAn exam report says Shilan is at the 75th percentile. What does it mean?ڕاپۆرتی تاقیکردنەوەیەک دەڵێت شیلان لە ⁦75⁩دایە. واتای چییە؟Her mark is 75نمرەکەی ⁦75⁩ـەAbout 75% of the students scored the same as her or lowerنزیکەی ⁦75%⁩ـی قوتابییەکان هێندەی ئەو یان کەمتر نمرەیان هێناوەShe answered 75% of the questions correctly⁦75%⁩ـی پرسیارەکانی بە دروستی وەڵام داوەتەوە

Finding the quartiles by handدۆزینەوەی چواریەکەکان بە دەست

Sortڕیز بکە
Write the data from smallest to largest.
لە بچووکەوە بۆ گەورە بنووسە.
Find the medianناوەڕاستە بدۆزەرەوە
This is $Q_2$ . It splits the list into a lower half and an upper half. When $n$ is odd, the median itself belongs to neither half.
ئەمە $Q_2$ ـە. لیستەکە دەکاتە نیوەی خوارەوە و نیوەی سەرەوە. کاتێک $n$ تاکە، خودی سەر بە هیچ نیوەیەک نییە.
Median of each halfناوەڕاستەی هەر نیوەیەک
$Q_1$ is the median of the lower half and $Q_3$ the median of the upper half.
$Q_1$ نیوەی خوارەوەیە و $Q_3$ نیوەی سەرەوە.

Example: the eleven values 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 19 (the data of the mean deviation lesson). The median is the 6th value, 6. The lower half 2, 3, 4, 5, 5 has median 4, and the upper half 7, 10, 13, 14, 19 has median 13:

نموونە: یازدە نرخەکەی 2، 3، 4، 5، 5، 6، 7، ⁦10⁩، ⁦13⁩، ⁦14⁩، ⁦19⁩ ( وانەی لادانی نێوانەیی). نرخی شەشەمە، 6. نیوەی خوارەوە 2، 3، 4، 5، 5 4ـە و نیوەی سەرەوە 7، ⁦10⁩، ⁦13⁩، ⁦14⁩، ⁦19⁩ ⁦13⁩ـە:

Q_1 = 4, \qquad Q_2 = M_e = 6, \qquad Q_3 = 13

Finding the quartiles by handدۆزینەوەی چواریەکەکان بە دەست

When $n$ is evenکاتێک $n$ جووتە

Add a twelfth value, 40: 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 19, 40. Now the median is the mean of the 6th and 7th values, and each half has six values:

نرخێکی دوازدەیەم، ⁦40⁩، زیاد بکە: 2، 3، 4، 5، 5، 6، 7، ⁦10⁩، ⁦13⁩، ⁦14⁩، ⁦19⁩، ⁦40⁩. ئێستا نرخی شەشەم و حەوتەمە و هەر نیوەیەک شەش نرخی هەیە:

\begin{aligned} M_e &= \tfrac{6+7}{2} = 6.5 \\ Q_1 &= \tfrac{4+5}{2} = 4.5 \\ Q_3 &= \tfrac{13+14}{2} = 13.5 \end{aligned}

The extreme value 40 moved the median only from 6 to 6.5 and the quartiles by half a unit. Quartiles, like the median, are hardly disturbed by one extreme value.

نرخە دوورەکەی ⁦40⁩ تەنها لە 6ـەوە بردە ⁦6.5⁩ و نیو یەکە جووڵان. ، وەک ، بە یەک نرخی زۆر دوور بە زەحمەت تێک دەچن.

Percentilesسەدیەکەکان

Definitionپێناسە

A value below which a given percentage of the data lies: the 90th percentile is higher than 90% of the values.

نرخێکە کە ڕێژەیەکی دیاریکراوی دراوەکە لە خوارییەوەیە: سەدیەکی ⁦90⁩ لە ⁦90%⁩ی نرخەکان بەرزترە.

To find the $k$ -th percentile of $n$ sorted values, first find its position:

بۆ دۆزینەوەی $k$ ـەمی $n$ نرخی ڕیزکراو، سەرەتا شوێنەکەی بدۆزەرەوە:

i = \frac{k}{100}\,(n + 1)

The 60 values of Example (1), sorted: 60, 65, 68, 72, 76, 78, 80, 82, 88, 90, 93, 95, 96, 98, 98, 101, 103, 104, 109, 110, 111, 111, 113, 114, 116, 116, 116, 118, 119, 119, 120, 120, 120, 121, 122, 122, 123, 125, 125, 126, 126, 126, 126, 130, 131, 132, 136, 136, 136, 137, 139, 142, 142, 150, 150, 154, 156, 156, 157, 164.

⁦60⁩ نرخەکەی نموونەی ⁦(1)⁩، ڕیزکراو: ⁦60⁩، ⁦65⁩، ⁦68⁩، ⁦72⁩، ⁦76⁩، ⁦78⁩، ⁦80⁩، ⁦82⁩، ⁦88⁩، ⁦90⁩، ⁦93⁩، ⁦95⁩، ⁦96⁩، ⁦98⁩، ⁦98⁩، ⁦101⁩، ⁦103⁩، ⁦104⁩، ⁦109⁩، ⁦110⁩، ⁦111⁩، ⁦111⁩، ⁦113⁩، ⁦114⁩، ⁦116⁩، ⁦116⁩، ⁦116⁩، ⁦118⁩، ⁦119⁩، ⁦119⁩، ⁦120⁩، ⁦120⁩، ⁦120⁩، ⁦121⁩، ⁦122⁩، ⁦122⁩، ⁦123⁩، ⁦125⁩، ⁦125⁩، ⁦126⁩، ⁦126⁩، ⁦126⁩، ⁦126⁩، ⁦130⁩، ⁦131⁩، ⁦132⁩، ⁦136⁩، ⁦136⁩، ⁦136⁩، ⁦137⁩، ⁦139⁩، ⁦142⁩، ⁦142⁩، ⁦150⁩، ⁦150⁩، ⁦154⁩، ⁦156⁩، ⁦156⁩، ⁦157⁩، ⁦164⁩.

25th percentileسەدیەکی ⁦25⁩
$i = 0.25 \cdot 61 = 15.25$ : between the 15th (98) and 16th (101) values, so $P_{25} = 99.5$ — the same as $Q_1$ .
$i = 0.25 \cdot 61 = 15.25$ : لە نێوان نرخی ⁦15⁩ـەم ⁦(98)⁩ و ⁦16⁩ـەم ⁦(101)⁩، بۆیە $P_{25} = 99.5$ — هەمان $Q_1$ .
90th percentileسەدیەکی ⁦90⁩
$i = 0.9 \cdot 61 = 54.9$ : between the 54th (150) and 55th (150) values, so $P_{90} = 150$ . Only 5 of the 60 values (about 8%) are above 150.
$i = 0.9 \cdot 61 = 54.9$ : لە نێوان نرخی ⁦54⁩ـەم ⁦(150)⁩ و ⁦55⁩ـەم ⁦(150)⁩، بۆیە $P_{90} = 150$ . تەنها 5 نرخ لە ⁦60⁩ نرخەکە (نزیکەی ⁦8%⁩) لە سەرووی ⁦150⁩ـن.

Quantiles and Percentiles, Clearly Explained!!!StatQuest with Josh Starmer · Englishئینگلیزی · 387K viewsبینین · 7.3K likesلایک
What quantiles and percentiles are: values that cut sorted data into equal-sized groups, and why tools may compute them a little differently.
quantiles و چین: ئەو نرخانەی ڕیزکراو دەکەن بە چەند گرووپێکی هاوقەبارە، هەروەها بۆچی ئامرازەکان کەمێک بە جیاوازی دەیانژمێرن.
Whole video: what a percentile (quantile) is
هەموو ڤیدیۆکە: (quantile) چییە.

Percentilesسەدیەکەکان

Which percentile is a value?نرخێک لە کام سەدیەکدایە؟

Which percentile is a given value? Count the values below it ( $x$ ) and equal to it ( $y$ ): $\frac{x + 0.5\,y}{n} \times 100$ . For 136: 46 values are below and 3 are equal, so $(46 + 1.5)/60 \times 100 = 79.2$ : 136 is at about the 79th percentile.

نرخێکی دیاریکراو لە کام ؟ ئەو نرخانە بژمێرە کە لە خوارییەوەن ( $x$ ) و یەکسانن پێی ( $y$ ): $\frac{x + 0.5\,y}{n} \times 100$ . بۆ ⁦136: 46⁩ نرخ لە خوارییەوەن و 3 یەکسانن، بۆیە $(46 + 1.5)/60 \times 100 = 79.2$ : ⁦136⁩ نزیکەی لە ⁦79⁩دایە.

The interquartile range and outliersمەودای چواریەکی و بەها پەڕگرەکان

Definitionپێناسە

The distance between the third and first : $IQR = Q_3 - Q_1$ . It is the spread of the middle half of the data.

دووریی نێوان سێیەم و یەکەمە: $IQR = Q_3 - Q_1$ . پەرتبوونی نیوەی ناوەڕاستی دراوەکە پیشان دەدات.

\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1

The range (largest − smallest) depends on the two most extreme values only: adding 40 makes it jump from 17 to 38. The IQR ignores the top and bottom quarters, so it stays about the same (9 by hand). That makes the IQR a good ruler for spotting values that are unusually far away.

مەودا (گەورەترین − بچووکترین) تەنها بەندە بە دوو دوورترین نرخ: زیادکردنی ⁦40⁩ لە ⁦17⁩ـەوە دەیگەیەنێتە ⁦38⁩. چارەکی سەرەوە و خوارەوە پشتگوێ دەخات، بۆیە نزیکەی وەک خۆی دەمێنێتەوە (⁦9⁩ بە دەست). ئەمە دەکاتە پێوەرێکی باش بۆ دۆزینەوەی ئەو نرخانەی بە شێوەیەکی نائاسایی دوورن.

Quick checkپشکنینی خێراAdding 40 to the eleven values makes the range jump from 17 to 38. What happens to the IQR found by hand?زیادکردنی ⁦40⁩ بۆ یازدە نرخەکە لە ⁦17⁩ـەوە دەباتە ⁦38⁩. کە بە دەست دەدۆزرێتەوە چی بەسەر دێت؟It doubles to 18دوو هێندە دەبێت، ⁦18⁩It also jumps to 38ئەویش دەبێتە ⁦38⁩It stays 9وەک خۆی دەمێنێتەوە، 9

Outliers - Box and Whisker Plot (1.5 IQR)Mario's Math Tutoring · Englishئینگلیزی · 82K viewsبینین · 1.4K likesلایک
Find Q1, the median and Q3, draw a box plot, work out the IQR, then use 1.5 × IQR fences to spot outliers.
$Q_1$ ، و $Q_3$ بدۆزەرەوە، بکێشە، بژمێرە، پاشان بە سنوورەکانی $1.5 \times \text{IQR}$ بدۆزەرەوە.
Whole video: IQR, a box plot and the 1.5 × IQR rule for outliers
هەموو ڤیدیۆکە: ، و یاسای $1.5 \times \text{IQR}$ بۆ .

The interquartile range and outliersمەودای چواریەکی و بەها پەڕگرەکان

The $1.5 \times \mathrm{IQR}$ rule for outliersیاسای $1.5 \times \mathrm{IQR}$ بۆ بەها پەڕگرەکان

The usual rule calls a value an outlier when it lies more than $1.5 \times \mathrm{IQR}$ outside the box:

یاسا باوەکە بە نرخێک دەڵێت کاتێک زیاتر لە $1.5 \times \mathrm{IQR}$ لە دەرەوەی سندووقەکە بێت:

x < Q_1 - 1.5\,\mathrm{IQR} \qquad\qquad x > Q_3 + 1.5\,\mathrm{IQR}

With 40 added: $Q_1 = 4.5$ , $Q_3 = 13.5$ , $\mathrm{IQR} = 9$ . The limits are $4.5 - 13.5 = -9$ and $13.5 + 13.5 = 27$ . 40 is above 27, so 40 is an outlier. Every other value lies inside the limits.

دوای زیادکردنی ⁦40⁩: $Q_1 = 4.5$ ، $Q_3 = 13.5$ ، $\mathrm{IQR} = 9$ . سنوورەکان $4.5 - 13.5 = -9$ و $13.5 + 13.5 = 27$ ن. ⁦40⁩ لە سەرووی ⁦27⁩ـەوەیە، بۆیە ⁦40⁩ . هەموو نرخەکانی تر لە ناو سنوورەکاندان.

The five-number summary and the box plotکورتەی پێنج ژمارەیی و هێڵکاریی سندووقی

Definitionپێناسە

Minimum, $Q_1$ , , $Q_3$ and maximum — the five numbers drawn in a .

کەمترین نرخ و $Q_1$ و و $Q_3$ و زۆرترین نرخ — ئەو پێنج ژمارەیەی لە دەکێشرێن.

For the eleven values the five-number summary is 2, 4, 6, 13, 19. A box plot draws exactly these five numbers on a scale: a box from $Q_1$ to $Q_3$ , a line inside it at the median, and two whiskers out to the smallest and largest values.

بۆ یازدە نرخەکە 2، 4، 6، ⁦13⁩، ⁦19⁩ـە. ڕێک ئەم پێنج ژمارەیە لەسەر پێوانەیەک دەکێشێت: سندووقێک لە $Q_1$ ـەوە بۆ $Q_3$ ، هێڵێک لە ناویدا لەسەر و دوو تا بچووکترین و گەورەترین نرخ.

The same eleven values as dots and as a box plot. The long right whisker shows the values spread far upwards.هەمان یازدە نرخ وەک خاڵ و وەک . درێژیی لای ڕاست پیشان دەدات کە نرخەکان بەرەو سەرەوە زۆر بڵاو بوونەتەوە.CêIT

Definitionپێناسە

A of the : a box from $Q_1$ to $Q_3$ with a line at the median, and whiskers out to the smallest and largest values that are not .

: سندووقێک لە $Q_1$ تا $Q_3$ بە هێڵێک لە ناوەڕاستەکەدا و دوو سمێڵ تا بچووکترین و گەورەترین ئەو نرخانەی نین.

The five-number summary and the box plotکورتەی پێنج ژمارەیی و هێڵکاریی سندووقی

Building a box plot, step by stepدروستکردنی هێڵکارییەکی سندووقی، هەنگاو بە هەنگاو

Eleven sorted dots on a scale from 0 to 42. A line marks the median 6, then lines mark Q1 = 4 and Q3 = 13, then a box is drawn from 4 to 13 and whiskers out to 2 and 19. A new value 40 appears: the median becomes 6.5, Q1 = 4.5, Q3 = 13.5, IQR = 9. A dashed whisker to 40 is questioned; the limit Q3 + 1.5 × IQR = 27 is drawn, the whisker stops at 19 and 40 is shown as a separate outlier point. — Median, quartiles, box, whiskers — and an outlier is drawn as its own point.، ، سندووق، — و وەک خاڵێکی سەربەخۆ دەکێشرێت.CêIT

Draw a scaleپێوانەیەک بکێشە
A number line that covers all the data.
هێڵێکی ژمارەیی کە هەموو بگرێتەوە.
The boxسندووقەکە
From $Q_1$ to $Q_3$ , with a line at the median.
لە $Q_1$ ـەوە بۆ $Q_3$ ، بە هێڵێک لەسەر .
Check for outliersبەها پەڕگرەکان بپشکنە
Compute $Q_1 - 1.5\,\mathrm{IQR}$ and $Q_3 + 1.5\,\mathrm{IQR}$ .
$Q_1 - 1.5\,\mathrm{IQR}$ و $Q_3 + 1.5\,\mathrm{IQR}$ بژمێرە.
The whiskersسمێڵەکان
From the box to the smallest and largest values that are not outliers.
لە سندووقەکەوە بۆ بچووکترین و گەورەترین نرخ کە نین.
The outliersبەها پەڕگرەکان
Draw each one as a separate point.
هەر یەکێکیان وەک خاڵێکی جیا بکێشە.

Definitionپێناسە

One of the two lines of a that run from the box out to the smallest and the largest value that is not an .

یەکێکە لەو دوو هێڵەی کە لە سندووقەکەوە دەڕۆن بۆ بچووکترین و گەورەترین نرخ کە نییە.

The five-number summary and the box plotکورتەی پێنج ژمارەیی و هێڵکاریی سندووقی

Reading a box plotخوێندنەوەی هێڵکارییەکی سندووقی

Centre — the median line.
Spread — the width of the box (the IQR) and the length of the whiskers.
Shape — a median close to $Q_1$ with a long right whisker means the data have a long tail to the right (as in our eleven values).
Unusual values — the separate points beyond the whiskers.

ناوەڕاست — هێڵی .
— پانیی سندووقەکە () و درێژیی .
شێوە — ئەگەر نزیکی $Q_1$ بێت و لای ڕاست درێژ بێت، واتە کلکێکی درێژی بەلای ڕاستدا هەیە (وەک یازدە نرخەکەی ئێمە).
نرخە نائاساییەکان — خاڵە جیاکان لە دوای .

Two special cases: if many values are equal, the median can sit on the edge of the box, and a whisker can have length zero (when the minimum equals $Q_1$ ). Each of the four parts still holds about a quarter of the values; a short part just means those values are packed close together.

دوو حاڵەتی تایبەت: ئەگەر زۆر نرخ یەکسان بن، دەکرێت لەسەر لێواری سندووقەکە بێت و دەکرێت درێژییەکەی سفر بێت (کاتێک کەمترین نرخ یەکسانە بە $Q_1$ ). هەر یەک لە چوار بەشەکە هێشتا نزیکەی چارەکێکی نرخەکان دەگرێتەخۆ؛ بەشێکی کورت تەنها واتای ئەوەیە کە ئەو نرخانە زۆر لە یەکەوە نزیکن.

Quick checkپشکنینی خێراIn a box plot the left whisker is very short and the right whisker is very long. What does it tell you?لە چەپ زۆر کورتە و ڕاست زۆر درێژە. چیت پێ دەڵێت؟The largest quarter of the values is spread over a long stretchگەورەترین چارەکی نرخەکان بەسەر بەشێکی درێژی هێڵەکەدا بڵاوەThe data contain a mistakeدراوەکە هەڵەی تێدایەThe right part holds more valuesبەشی ڕاست نرخی زیاتری تێدایە

Comparing groups with box plotsبەراوردکردنی گرووپەکان بە هێڵکارییە سندووقییەکان

Box plots are most useful side by side. Two sections of the same course took a quiz out of 20 (example data): morning 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 19 and evening 2, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15.

لە هەموو کاتێک بەسوودترن کاتێک لە تەنیشت یەکەوە دادەنرێن. دوو بەشی هەمان وانە تاقیکردنەوەیەکیان لە ⁦20⁩ کرد ( نموونەیی): بەیانیان 5، 7، 8، 9، ⁦11⁩، ⁦12⁩، ⁦13⁩، ⁦15⁩، ⁦16⁩، ⁦18⁩، ⁦19⁩ و ئێواران 2، ⁦10⁩، ⁦11⁩، ⁦11⁩، ⁦12⁩، ⁦12⁩، ⁦13⁩، ⁦13⁩، ⁦14⁩، ⁦14⁩، ⁦15⁩.

Same median, very different spread — and one evening mark is an outlier.هەمان ، زۆر جیاواز — و نمرەیەکی ئێواران .CêIT

Measureپێوەر	Morningبەیانیان	Eveningئێواران
Five-number summary	5, 8, 12, 16, 19	2, 11, 12, 14, 15
$\mathrm{IQR}$	8	3
Limits ( $1.5 \times \mathrm{IQR}$ )سنوورەکان ( $1.5 \times \mathrm{IQR}$ )	$-4 \;\ldots\; 28$	$6.5 \;\ldots\; 18.5$
Outliers	noneنییە	2
Mean	12.09	11.55

Both sections have the same median, 12, so a typical student did equally well. But the evening marks are packed together (IQR 3) while the morning marks are spread out (IQR 8). One evening student scored 2 — an outlier worth a question (absent? ill?). Notice how that single 2 pulls the evening mean below the morning mean although the medians are equal.

هەردوو بەش هەمان هەیە، ⁦12⁩، بۆیە قوتابییەکی ئاسایی هەمان ئاستی هەبوو. بەڵام نمرەکانی ئێواران لە یەکەوە نزیکن ⁦(IQR 3)⁩ و هی بەیانیان پەرتن ⁦(IQR 8)⁩. قوتابییەکی ئێواران 2ـی هێنا — کە شایەنی پرسیارە (ئامادە نەبوو؟ نەخۆش بوو؟). سەرنج بدە چۆن ئەو تاکە 2ـیە ئێواران دەباتە خوار بەیانیان، هەرچەندە یەکسانن.

Quick checkپشکنینی خێراWhich section has the more consistent marks?کام بەش نمرەی جێگیرتر و لە یەکەوە نزیکتری هەیە؟Morning: its whiskers are longerبەیانیان: سمێڵەکانی درێژترنEvening: its box is much narrowerئێواران: سندووقەکەی زۆر تەسکترەThey are the same, because the medians are equalوەک یەکن، چونکە ناوەڕاستەکان یەکسانن

Quartiles of grouped dataچواریەکەکانی دراوەی پۆلێنکراو

For a frequency table, use the grouped median formula with $n/4$ or $3n/4$ in place of $n/2$ , inside the class where the cumulative frequency first reaches that number:

بۆ ، یاسای ناوەڕاستەی پۆلێنکراو بەکار بهێنە بە $n/4$ یان $3n/4$ لە جیاتی $n/2$ ، لە ناو ئەو کە یەکەم جار دەگاتە ئەو ژمارەیە:

Q_1 = L.B.L + \frac{\frac{n}{4} - F_i^*}{F_i} \times L \qquad Q_3 = L.B.L + \frac{\frac{3n}{4} - F_i^*}{F_i} \times L

Example (15) of the median lesson (60–63, …, 72–75 with frequencies 5, 18, 42, 27, 8; cumulative 5, 23, 65, 92, 100): $n/4 = 25$ falls in 66–69, so $Q_1 = 66 + \frac{25-23}{42} \times 3 = 66.14$ ; $3n/4 = 75$ falls in 69–72, so $Q_3 = 69 + \frac{75-65}{27} \times 3 = 70.11$ . The IQR is about 3.97.

نموونەی ⁦(15)⁩ی وانەی ناوەڕاستە (⁦60–63⁩، …، ⁦72–75⁩ بە 5، ⁦18⁩، ⁦42⁩، ⁦27⁩، 8؛ 5، ⁦23⁩، ⁦65⁩، ⁦92⁩، ⁦100⁩): $n/4 = 25$ دەکەوێتە ⁦66–69⁩، بۆیە $Q_1 = 66 + \frac{25-23}{42} \times 3 = 66.14$ ؛ $3n/4 = 75$ دەکەوێتە ⁦69–72⁩، بۆیە $Q_3 = 69 + \frac{75-65}{27} \times 3 = 70.11$ . نزیکەی ⁦3.97⁩ـە.

Quick checkپشکنینی خێراA frequency table describes

n = 200

values. Which cumulative frequency do you look for to find the class of

Q_3

?

n = 200

نرخ وەسف دەکات. بۆ دۆزینەوەی

Q_3

بەدوای کام دەگەڕێیت؟

150

150

100

100

75

75

Quartiles in Python — and why methods differچواریەکەکان لە Pythonـدا — و بۆچی ڕێگاکان جیاوازن

statistics.quantiles(data, n=4) returns the three quartiles; n=10 gives deciles and n=100 percentiles. It has two methods: 'exclusive' (the default) and 'inclusive'. Both interpolate between neighbouring values, so their answers can differ a little from the hand method.

statistics.quantiles(data, n=4) سێ دەگەڕێنێتەوە؛ n=10 دەیەکەکان و n=100 دەدات. دوو ڕێگای هەیە: 'exclusive' (بنەڕەتی) و 'inclusive'. هەردووکیان لە نێوان نرخە دراوسێکاندا خەمڵاندن دەکەن، بۆیە وەڵامەکانیان دەکرێت کەمێک لە ڕێگای دەستی جیاواز بن.

PYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

import statistics as st

data = [2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 19]
print(st.quantiles(data, n=4))                      # 'exclusive' (default)
print(st.quantiles(data, n=4, method="inclusive"))

data.append(40)
q1, q2, q3 = st.quantiles(data, n=4)
iqr = q3 - q1
low, high = q1 - 1.5 * iqr, q3 + 1.5 * iqr
print(q1, q2, q3, iqr)
print(low, high)
print([x for x in data if x < low or x > high])     # outliers

Explain the codeڕوونکردنەوەی کۆدەکە

Lineدێڕی 4-5

For the eleven values, 'exclusive' agrees with the hand method (4, 6, 13); 'inclusive' gives 4.5 and 11.5.

بۆ یازدە نرخەکە، 'exclusive' لەگەڵ ڕێگای دەستی یەک دەگرێتەوە (⁦4⁩، 6، ⁦13⁩)؛ '⁦inclusive' 4.5⁩ و ⁦11.5⁩ دەدات.

Lineدێڕی 7-12

With 40 added, Python gives $Q_1 = 4.25$ and $Q_3 = 13.75$ (hand: 4.5 and 13.5), yet 40 is still the only outlier.

دوای زیادکردنی ⁦40⁩، Python $Q_1 = 4.25$ و $Q_3 = 13.75$ دەدات (بە دەست: ⁦4.5⁩ و ⁦13.5⁩)، بەڵام هێشتا ⁦40⁩ تاکە .

$Q_1, Q_2, Q_3$ by three common methods $Q_1, Q_2, Q_3$ بە سێ ڕێگای باو
Data	By hand (median of halves)بە دەست ( نیوەکان)	Python 'exclusive'Python (ڕێگای '⁦exclusive'⁩)	Python 'inclusive'Python (ڕێگای '⁦inclusive'⁩)
11 values⁦11⁩ نرخ	4, 6, 13	4, 6, 13	4.5, 6, 11.5
12 values (with 40)⁦12⁩ نرخ (لەگەڵ ⁦40⁩)	4.5, 6.5, 13.5	4.25, 6.5, 13.75	4.75, 6.5, 13.25

Which one is right?کامیان ڕاستە؟

All of them. There are several accepted definitions of quartiles, and calculators, spreadsheets and Python do not all use the same one. For large data sets the differences are tiny. In exams, use the method your course teaches and say which one you used.

هەموویان. چەند پێناسەیەکی پەسەندکراو بۆ هەیە و حاسیبە، و Python هەموویان هەمان پێناسە بەکار ناهێنن. کاتێک ژمارەی نرخەکان زۆرە جیاوازییەکان زۆر بچووکن. لە تاقیکردنەوەدا ئەو ڕێگایە بەکار بهێنە کە کۆرسەکەت فێری دەکات و بڵێ کامیانت بەکار هێناوە.

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Fixچارەسەر
Finding quartiles in unsorted dataدۆزینەوەی لە ڕیزنەکراودا	Sort first, as for the medianسەرەتا ڕیز بکە، وەک بۆ
Reading “90th percentile” as “90%”خوێندنەوەی « ⁦90⁩» وەک «⁦90%⁩»	It is a position among the data, not a scoreشوێنێکە لە نێوان ، نەک نمرە
$\mathrm{IQR} = (Q_1 + Q_3)/2$ $\mathrm{IQR} = (Q_1 + Q_3)/2$	$\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1$ — a distance, not a centre $\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1$ — دوورییە، نەک ناوەڕاست
Whiskers drawn out to an outlierکێشانی تا	Stop at the last value inside the limits; draw the outlier as a pointلە دوایین نرخی ناو سنوورەکان بوەستە؛ وەک خاڵ بکێشە
Deleting outliers automaticallyسڕینەوەی بە شێوەی خۆکار	Check them first: mistake or real value?سەرەتا بیانپشکنە: هەڵەیە یان نرخی ڕاستەقینە؟
Comparing box plots drawn on different scalesبەراوردکردنی کە لەسەر پێوانەی جیاواز کێشراون	Put them on one common scaleلەسەر یەک پێوانەی هاوبەش دایانبنێ

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانQuartiles of nine valuesچواریەکەکانی نۆ نرخ

Find $Q_1$ , the median, $Q_3$ and the IQR of 31, 25, 40, 28, 35, 22, 30, 45, 27. Are there outliers?

$Q_1$ ، ، $Q_3$ و IQR بۆ ⁦31⁩، ⁦25⁩، ⁦40⁩، ⁦28⁩، ⁦35⁩، ⁦22⁩، ⁦30⁩، ⁦45⁩، ⁦27⁩ بدۆزەرەوە. هەیە؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Sorted: 22, 25, 27, 28, 30, 31, 35, 40, 45. Median 30; lower half 22, 25, 27, 28 → $Q_1 = 26$ ; upper half 31, 35, 40, 45 → $Q_3 = 37.5$ ; $\mathrm{IQR} = 11.5$ . Limits $26 - 17.25 = 8.75$ and $37.5 + 17.25 = 54.75$ : no outliers.

ڕیزکراو: ⁦22⁩، ⁦25⁩، ⁦27⁩، ⁦28⁩، ⁦30⁩، ⁦31⁩، ⁦35⁩، ⁦40⁩، ⁦45⁩. ⁦30⁩؛ نیوەی خوارەوە ⁦22⁩، ⁦25⁩، ⁦27⁩، ⁦28⁩ ← $Q_1 = 26$ ؛ نیوەی سەرەوە ⁦31⁩، ⁦35⁩، ⁦40⁩، ⁦45⁩ ← $Q_3 = 37.5$ ؛ $\mathrm{IQR} = 11.5$ . سنوورەکان $26 - 17.25 = 8.75$ و $37.5 + 17.25 = 54.75$ ن: نییە.

ExerciseڕاهێنانA box plot of Example (1)هێڵکارییەکی سندووقی بۆ نموونەی ⁦(1)⁩

Use the 60 sorted values of Example (1) (in the Percentiles section) to find the five-number summary and check for outliers. Describe the shape.

⁦60⁩ نرخە ڕیزکراوەکەی نموونەی ⁦(1)⁩ (لە بەشی ) بەکار بهێنە بۆ دۆزینەوەی و پشکنینی . شێوەکەی وەسف بکە.

Hintئاماژە

$n = 60$ : the median is the mean of the 30th and 31st values; each half has 30 values.

$n = 60$ : نرخی ⁦30⁩ـەم و ⁦31⁩ـەمە؛ هەر نیوەیەک ⁦30⁩ نرخی هەیە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Min 60; $Q_1 = (98+101)/2 = 99.5$ ; median $(119+120)/2 = 119.5$ ; $Q_3 = (131+132)/2 = 131.5$ ; max 164. $\mathrm{IQR} = 32$ ; limits $99.5 - 48 = 51.5$ and $131.5 + 48 = 179.5$ : no outliers. The median is closer to $Q_3$ than to $Q_1$ and the left whisker ( $60 \to 99.5$ ) is longer: the data have a longer tail to the left.

کەمترین ⁦60⁩؛ $Q_1 = (98+101)/2 = 99.5$ ؛ $(119+120)/2 = 119.5$ ؛ $Q_3 = (131+132)/2 = 131.5$ ؛ زۆرترین ⁦164⁩. $\mathrm{IQR} = 32$ ؛ سنوورەکان $99.5 - 48 = 51.5$ و $131.5 + 48 = 179.5$ ن: نییە. لە $Q_3$ ـەوە نزیکترە تا لە $Q_1$ و چەپ ( $60 \to 99.5$ ) درێژترە: کلکێکی درێژتری بەلای چەپدا هەیە.

ExerciseڕاهێنانWhich percentile?کام سەدیەک؟

In the eleven values 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 19, at which percentile is the value 10?

لە یازدە نرخەکەی 2، 3، 4، 5، 5، 6، 7، ⁦10⁩، ⁦13⁩، ⁦14⁩، ⁦19⁩ـدا، نرخی ⁦10⁩ لە کام ؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

7 values are below 10 and 1 is equal: $(7 + 0.5)/11 \times 100 = 68.2$ , so 10 is at about the 68th percentile.

7 نرخ لە خوار ⁦10⁩ـەوەن و 1 یەکسانە: $(7 + 0.5)/11 \times 100 = 68.2$ ، بۆیە ⁦10⁩ نزیکەی لە ⁦68⁩دایە.

ExerciseڕاهێنانRead the two box plotsدوو هێڵکارییە سندووقییەکە بخوێنەرەوە

Look at the two sections' box plots. Give two facts that the means alone (12.09 and 11.55) would hide.

سەیری دوو بەشەکە بکە. دوو ڕاستی بڵێ کە بە تەنها (⁦12.09⁩ و ⁦11.55⁩) دەیانشارنەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

The medians are equal (12): the typical student did equally well in both sections.
The evening marks are much less spread (IQR 3 vs 8), and the low evening mean comes from one outlier, 2.

یەکسانن ⁦(12)⁩: قوتابیی ئاسایی لە هەردوو بەشدا هەمان ئاستی هەبوو.
نمرەکانی ئێواران زۆر کەمتر پەرتن (⁦IQR 3⁩ بەرامبەر ⁦8⁩) و نزمی ئێواران لە یەک هاتووە، 2.

Exercisesڕاهێنانەکان

Exercise: a percentile function in Pythonڕاهێنان: کردارێک بۆ سەدیەک لە Pythonـدا

ExerciseڕاهێنانA percentile function for exam marks (Python)کردارێک بۆ سەدیەکی نمرەی تاقیکردنەوە ⁦(Python)⁩

A school keeps the marks of an aptitude test in a list. Write a function percentile(marks, x) that uses the nearest-rank method: sort a copy of the list, find the rank $\lceil x \cdot n / 100 \rceil$ (round up to a whole number) and return the mark at that rank. Test it with $x = 90$ and $x = 25$ on these 20 marks: 55, 72, 64, 90, 48, 81, 77, 69, 93, 58, 66, 85, 74, 61, 88, 79, 52, 70, 83, 96. Then compare with statistics.quantiles(marks, n=100).

قوتابخانەیەک نمرەکانی تاقیکردنەوەیەکی توانا لە لیستێکدا هەڵدەگرێت. بنووسە بە ناوی percentile(marks, x) کە ڕێگای نزیکترین پلە بەکار دەهێنێت: کۆپییەکی لیستەکە ڕیز بکە، پلەی $\lceil x \cdot n / 100 \rceil$ بدۆزەرەوە (بەرەو سەرەوە بۆ نزیکی بکەرەوە) و ئەو نمرەیە بگەڕێنەوە کە لەو پلەیەدایە. بە $x = 90$ و $x = 25$ لەسەر ئەم ⁦20⁩ نمرەیە تاقیی بکەرەوە: ⁦55⁩، ⁦72⁩، ⁦64⁩، ⁦90⁩، ⁦48⁩، ⁦81⁩، ⁦77⁩، ⁦69⁩، ⁦93⁩، ⁦58⁩، ⁦66⁩، ⁦85⁩، ⁦74⁩، ⁦61⁩، ⁦88⁩، ⁦79⁩، ⁦52⁩، ⁦70⁩، ⁦83⁩، ⁦96⁩. پاشان بەراوردی بکە بە statistics.quantiles(marks, n=100).

Hintئاماژە

Use math.ceil() to round up. Python has no math.round() (the built-in round() rounds to the nearest whole number, which is a different rule). Remember that list positions start at 0.

بۆ نزیککردنەوە بەرەو سەرەوە math.ceil() بەکار بهێنە. Python هیچ math.round()ـێکی نییە (round()ـی ناوخۆیی بۆ نزیکترین نزیک دەکاتەوە، کە یاسایەکی ترە). لەبیرت بێت کە شوێنەکانی لیست لە 0ـەوە دەست پێ دەکەن.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

PYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

import math
import statistics as st

def percentile(marks, x):
    """Nearest-rank x-th percentile, 0 < x <= 100."""
    data = sorted(marks)                  # a sorted copy; marks is unchanged
    rank = math.ceil(x * len(data) / 100)  # round UP to a whole rank
    return data[rank - 1]                 # rank 1 is index 0

marks = [55, 72, 64, 90, 48, 81, 77, 69, 93, 58,
         66, 85, 74, 61, 88, 79, 52, 70, 83, 96]
print(percentile(marks, 90), percentile(marks, 25))

p = st.quantiles(marks, n=100)           # 99 cut points: p[0] is P1
print(round(p[89], 2), round(p[24], 2))   # P90 and P25

Explain the codeڕوونکردنەوەی کۆدەکە

Lineدێڕی 6

For 20 marks and $x = 90$ : $90 \cdot 20 / 100 = 18$ , so the 18th mark in order. Multiplying before dividing keeps the rank exact.

بۆ ⁦20⁩ نمرە و $x = 90$ : $90 \cdot 20 / 100 = 18$ ، واتە هەژدەیەمین نمرە بە ڕیز. لێکدان پێش دابەشکردن پلەکە ورد دەهێڵێتەوە.

Lineدێڕی 14-15

quantiles() interpolates between neighbouring marks (the 'exclusive' method), so it gives 92.7 and 61.75.

quantiles() لە نێوان نمرە دراوسێکاندا خەمڵاندن دەکات (ڕێگای '⁦exclusive'⁩)، بۆیە ⁦92.7⁩ و ⁦61.75⁩ دەدات.

Sorted, the marks are 48, 52, …, 88, 90, 93, 96. Nearest rank: the 18th mark is 90 and the 5th mark is 61, so 18 of the 20 students (90%) scored 90 or less. The position rule of this lesson, $i = 0.9 \cdot 21 = 18.9$ , gives $(90 + 93)/2 = 91.5$ , and Python gives 92.7. All three are accepted methods; say which one you used. With 120 students the nearest rank for the 90th percentile would be $0.9 \cdot 120 = 108$ : the 108th mark in order.

بە ڕیزکراوی نمرەکان ⁦48⁩، ⁦52⁩، …، ⁦88⁩، ⁦90⁩، ⁦93⁩، ⁦96⁩ن. نزیکترین پلە: نمرەی هەژدەیەم ⁦90⁩ـە و نمرەی پێنجەم ⁦61⁩ـە، کەواتە ⁦18⁩ لە ⁦20⁩ قوتابییەکە ⁦(90%) 90⁩ یان کەمتریان هێناوە. یاسای شوێنی ئەم وانەیە، $i = 0.9 \cdot 21 = 18.9$ ، $(90 + 93)/2 = 91.5$ دەدات و ⁦Python 92.7⁩ دەدات. هەر سێکیان ڕێگای پەسەندکراون؛ بڵێ کامیانت بەکار هێناوە. ئەگەر ⁦120⁩ قوتابی هەبوایە، نزیکترین پلە بۆ ⁦90⁩ دەبوو بە $0.9 \cdot 120 = 108$ : نمرەی ⁦108⁩ـەم بە ڕیز.

Summaryپوختە

Quartiles $Q_1, Q_2, Q_3$ cut sorted data into four parts; by hand, $Q_1$ and $Q_3$ are the medians of the lower and upper halves.
The $k$ -th percentile is at position $\frac{k}{100}(n+1)$ ; a percentile is a position, not a percentage score.
$\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1$ measures the spread of the middle half; outliers lie beyond $Q_1 - 1.5\,\mathrm{IQR}$ or $Q_3 + 1.5\,\mathrm{IQR}$ .
A box plot draws the five-number summary; whiskers stop at the last non-outlier, outliers are separate points.
Different methods (hand, Python 'exclusive', 'inclusive') can give slightly different quartiles.

$Q_1, Q_2, Q_3$ ڕیزکراو دەکەنە چوار بەش؛ بە دەست، $Q_1$ و $Q_3$ نیوەی خوارەوە و سەرەوەن.
$k$ ـەم لە شوێنی $\frac{k}{100}(n+1)$ ـدایە؛ شوێنە، نەک نمرەی سەدی.
$\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1$ نیوەی ناوەڕاست دەپێوێت؛ لە دەرەوەی $Q_1 - 1.5\,\mathrm{IQR}$ یان $Q_3 + 1.5\,\mathrm{IQR}$ ـن.
دەکێشێت؛ لە دوایین نرخدا دەوەستن کە نییە و خاڵی جیان.
ڕێگا جیاوازەکان (دەستی، ⁦Python 'exclusive⁩'، '⁦inclusive'⁩) دەکرێت کەمێک جیاواز بدەن.

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why is the IQR a better measure of spread than the range when there is an outlier?بۆچی کاتێک بەهای پەڕگر هەیە مەودای چواریەکی پێوەرێکی باشترە بۆ پەرتبوون لە مەودا؟

The range uses only the two extreme values, so one outlier changes it a lot; the IQR ignores the outer quarters.

تەنها دوو نرخە دوورەکە بەکار دەهێنێت، بۆیە یەک زۆری دەگۆڕێت؛ چارەکە دەرەکییەکان پشتگوێ دەخات.

What five numbers does a box plot show?هێڵکاریی سندووقی کام پێنج ژمارە پیشان دەدات؟

Minimum, $Q_1$ , median, $Q_3$ , maximum (with outliers drawn separately).

کەمترین، $Q_1$ ، ، $Q_3$ ، زۆرترین (و بە جیا دەکێشرێن).

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

What are Quartiles? Percentiles? Deciles?zedstatistics · Englishئینگلیزی · 70K viewsبینین · 1.5K likesلایک
Quartiles, deciles and percentiles cut sorted data into equal parts; the five-number summary; why computer programs give slightly different quartiles.
، دەیەکەکان (deciles) و ڕیزکراو دابەشی چەند بەشێکی یەکسان دەکەن؛ ؛ هەروەها بۆچی کەمێک جیاواز دەدەن.
Whole video: quartiles, percentiles, the five-number summary and why methods differ
هەموو ڤیدیۆکە: ، ، و بۆچی ڕێگاکان جیاوازن.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Practice: One Data Set from Table to Averagesڕاهێنان: یەک کۆمەڵەدراوە لە خشتەوە بۆ پێوەرەکانی ڕووکردنە چەق

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Quartiles, Percentiles and Box Plots (Supplementary)چواریەکەکان، سەدیەکەکان و هێڵکارییە سندووقییەکان (زیادە)

What you will learnچی فێر دەبیت

Cutting the data into quartersبڕینی دراوەکە بۆ چوار بەش

Finding the quartiles by handدۆزینەوەی چواریەکەکان بە دەست

When nnn is evenکاتێک nnn جووتە

Percentilesسەدیەکەکان

Which percentile is a value?نرخێک لە کام سەدیەکدایە؟

The interquartile range and outliersمەودای چواریەکی و بەها پەڕگرەکان

The 1.5×IQR1.5 \times \mathrm{IQR}1.5×IQR rule for outliersیاسای 1.5×IQR1.5 \times \mathrm{IQR}1.5×IQR بۆ بەها پەڕگرەکان

The five-number summary and the box plotکورتەی پێنج ژمارەیی و هێڵکاریی سندووقی

Building a box plot, step by stepدروستکردنی هێڵکارییەکی سندووقی، هەنگاو بە هەنگاو

Reading a box plotخوێندنەوەی هێڵکارییەکی سندووقی

Comparing groups with box plotsبەراوردکردنی گرووپەکان بە هێڵکارییە سندووقییەکان

Quartiles of grouped dataچواریەکەکانی دراوەی پۆلێنکراو

Quartiles in Python — and why methods differچواریەکەکان لە Pythonـدا — و بۆچی ڕێگاکان جیاوازن

Common mistakesهەڵە باوەکان

Exercisesڕاهێنانەکان

Exercise: a percentile function in Pythonڕاهێنان: کردارێک بۆ سەدیەک لە Pythonـدا

Summaryپوختە

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

When $n$ is evenکاتێک $n$ جووتە

The $1.5 \times \mathrm{IQR}$ rule for outliersیاسای $1.5 \times \mathrm{IQR}$ بۆ بەها پەڕگرەکان