Chapterبەش 6 · Lectureوانە 6.2

Adding, Subtracting and Scaling Matricesکۆکردنەوە، لێدەرکردن و لێکدانی ماتریکسەکان لە ژمارە

The same-size rule, adding and subtracting entry by entry, multiplying a matrix by a number, the trace, the properties of addition and of scalar multiples, and solving $2X + A = B$ — with the notes' unfinished property 7 and a misprinted subscript corrected.

یاسای هەمان قەبارە، کۆکردنەوە و لێدەرکردنی ژمارە بە ژمارە، لێکدانی لە ژمارەیەک، ، تایبەتمەندییەکانی کۆکردنەوە و لێکدان لە و شیکارکردنی $2X + A = B$ — لەگەڵ ڕاستکردنەوەی تایبەتمەندیی 7ی تەواونەکراو و هەڵە چاپکراوی تێبینییەکان.

13 min read14 خولەک خوێندنەوە · 16 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Decide whether two matrices can be added and add or subtract them entry by entry.
Multiply a matrix by a number and use $-A$ and $A - B = A + (-1)B$ .
Find the trace of a square matrix and use the properties of addition and of scalar multiples.
Solve matrix equations such as $2X + A = B$ .

بڕیار بدەیت ئایا دوو کۆ دەکرێنەوە و ژمارە بە ژمارە کۆیان بکەیتەوە یان لێیان دەربکەیت.
لە ژمارەیەک بدەیت و $-A$ و $A - B = A + (-1)B$ بەکاربهێنیت.
بدۆزیتەوە و تایبەتمەندییەکانی کۆکردنەوە و لێکدان لە بەکاربهێنیت.
وەک $2X + A = B$ شیکار بکەیت.

Why add matrices?بۆچی ماتریکسەکان کۆ دەکەینەوە؟

Aram has two branches of a stationery shop, one in Erbil and one in Duhok. Every weekend each branch writes its sales in a small table: the rows are the days (Saturday, Sunday) and the columns are the items (notebooks, pens, rulers). Each table is a $2 \times 3$ :

ئارام دوو لقی دوکانێکی پێداویستیی قوتابخانەی هەیە، یەکێکیان لە هەولێر و ئەوی تریان لە دهۆک. هەموو کۆتایی هەفتەیەک هەر لقێک فرۆشەکەی لە خشتەیەکی بچووکدا دەنووسێت: ڕیزەکان ڕۆژەکانن (شەممە، یەکشەممە) و ستوونەکان کاڵاکانن (دەفتەر، پێنووس، ڕاستەکێش). هەر خشتەیەک $2 \times 3$ ـە:

E = \begin{bmatrix} 12 & 30 & 5 \\ 8 & 25 & 7 \end{bmatrix} \qquad D = \begin{bmatrix} 10 & 22 & 6 \\ 9 & 18 & 4 \end{bmatrix}

To get the weekend total of the whole shop, Aram adds the numbers that mean the same thing: Saturday notebooks with Saturday notebooks ( $12 + 10 = 22$ ), Sunday pens with Sunday pens, and so on. That is exactly matrix addition:

بۆ ئەوەی کۆی فرۆشی هەموو دوکانەکە لە کۆتایی هەفتەدا بزانێت، ئارام ئەو ژمارانە کۆ دەکاتەوە کە هەمان واتایان هەیە: دەفتەری شەممە لەگەڵ دەفتەری شەممە ( $12 + 10 = 22$ )، پێنووسی یەکشەممە لەگەڵ پێنووسی یەکشەممە و بەم شێوەیە. ئەمە ڕێک کۆکردنەوەی :

E + D = \begin{bmatrix} 12 & 30 & 5 \\ 8 & 25 & 7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 10 & 22 & 6 \\ 9 & 18 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 22 & 52 & 11 \\ 17 & 43 & 11 \end{bmatrix}

The same-size ruleیاسای هەمان قەبارە

Two matrices can be added only when they have the same order: the same number of rows and the same number of columns. Then you add the entries in the same position. For $A_{m \times n}$ and $B_{m \times n}$ the sum is $C_{m \times n} = A + B$ with

دوو تەنها کاتێک کۆ دەکرێنەوە کە هەمان قەبارەیان هەبێت: هەمان ژمارەی ڕیز و هەمان ژمارەی ستوون. ئەو کاتە ژمارە هاوشوێنەکان کۆ دەکەیتەوە. بۆ $A_{m \times n}$ و $B_{m \times n}$ کۆکەیان $C_{m \times n} = A + B$ ـە بەم شێوەیە:

c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

A + B = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{m1} & \cdots & b_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix}

Same order: add place by place. Different orders: no sum.هەمان قەبارە: شوێن بە شوێن کۆ بکەرەوە. قەبارەی جیاواز: کۆ نییە.CêIT

This is the same “point by point” idea as adding two functions in Operations on functions: there you add $f(x) + g(x)$ at the same $x$ ; here you add $a_{ij} + b_{ij}$ at the same $(i, j)$ .

ئەمە هەمان بیرۆکەی «خاڵ بە خاڵ»ـە وەک کۆکردنەوەی دوو لە کۆکردنەوە، لێدەرکردن، لێکدان و دابەشکردنی نەخشەکاندا: لەوێ $f(x) + g(x)$ لە هەمان $x$ دا کۆ دەکەیتەوە؛ لێرە $a_{ij} + b_{ij}$ لە هەمان $(i, j)$ دا.

4). Chapter Two : Matrices / part 2 in KurdishAvin Omer Karim · Kurdish (Sorani)کوردی (سۆرانی) · 5.2K viewsبینین · 135 likesلایک · Partبەشی 0:00–2:48 (ofلە 26:34)
A Kurdish university lecture: adding matrices of the same order, multiplying by a number, and multiplying matrices row by column.
وانەیەکی زانکۆ بە کوردی: کۆکردنەوەی کە هەمان قەبارەیان هەیە، لێکدان لە ژمارەیەک و لێکدانی ڕیز لە ستوون.
Kurdish (Sorani) explanation with English notes on paper: (1) addition needs the same order, (2) scalar multiple 3A, (3) negative of a matrix. Ends where multiplication starts.
ڕوونکردنەوە بە کوردیی سۆرانی، لەگەڵ تێبینیی ئینگلیزی لەسەر کاغەز: ⁦(1)⁩ کۆکردنەوە هەمان قەبارەی پێویستە، ⁦(2)⁩ لێکدان لە : $3A$ ، ⁦(3)⁩ $-A$ ، واتە سالبی . لەو شوێنەدا کۆتایی دێت کە لێکدانی دەست پێدەکات.

Watch it cell by cellخانە بە خانە سەیری بکە

The animation adds the two branch tables one cell at a time. Each frame lights up one place in $E$ , the same place in $D$ , and writes their sum into the same place of the answer.

ئەم وێنە جووڵاوە خشتەی دوو لقەکە خانە بە خانە کۆ دەکاتەوە. هەر وێنەیەک شوێنێک لە $E$ ، هەمان شوێن لە $D$ ڕووناک دەکاتەوە و کۆکەیان لە هەمان شوێنی وەڵامەکەدا دەنووسێت.

Three 2 by 3 grids side by side: E with rows 12, 30, 5 / 8, 25, 7, a plus sign, D with rows 10, 22, 6 / 9, 18, 4, an equals sign and an empty answer grid. Frame by frame one position lights up in E and D and its sum appears in the answer: 12 + 10 = 22, 30 + 22 = 52, 5 + 6 = 11, then the Sunday row 8 + 9 = 17, 25 + 18 = 43, 7 + 4 = 11. The last frame shows the full answer 22, 52, 11 / 17, 43, 11 and the words “same size only”. — Each entry of $E + D$ uses only the two entries in the same place.هەر ژمارەیەکی $E + D$ تەنها ئەو دوو ژمارەیە بەکاردەهێنێت کە لە هەمان شوێندان.CêIT

Different orders: no sumقەبارەی جیاواز: کۆ نییە

If the orders differ, some entries have no partner in the other matrix, so the sum is not defined. It is not zero, and you may not fill the gaps with zeros:

ئەگەر قەبارەکان جیاواز بن، هەندێک ژمارە هاوبەشیان لە تردا نییە، بۆیە کۆکە پێناسە نەکراوە. سفر نییە و ناشتوانیت بۆشاییەکان بە سفر پڕ بکەیتەوە:

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}_{2 \times 3} + \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}_{3 \times 2}

Subtracting matricesلێدەرکردنی ماتریکسەکان

Subtraction works the same way: both matrices need the same order, and you subtract each entry of the second matrix from the entry in the same place of the first: $A_{m \times n} - B_{m \times n} = C_{m \times n}$ with $c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$ .

لێدەرکردن بە هەمان شێوە کار دەکات: هەردوو هەمان قەبارەیان پێویستە و هەر ژمارەیەکی دووەم لە ژمارە هاوشوێنەکەی یەکەم دەردەکەیت: $A_{m \times n} - B_{m \times n} = C_{m \times n}$ بە $c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$ .

The notes' example: find $A + B$ , $B + A$ , $A - B$ and $B - A$ for

نموونەی تێبینییەکان: $A + B$ ، $B + A$ ، $A - B$ و $B - A$ بدۆزەرەوە بۆ

A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 2 \end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

Worked exampleنموونەی شیکراوە

$A + B$ $A + B$
Add the entries in the same place.
ژمارە هاوشوێنەکان کۆ بکەرەوە.
$A + B = \begin{bmatrix} 1+3 & 4+7 \\ 5+1 & 2+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 11 \\ 6 & 2 \end{bmatrix}$
$B + A$ $B + A$
The same answer: for each entry $b_{ij} + a_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ .
هەمان وەڵام: بۆ هەر ژمارەیەک $b_{ij} + a_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ .
$B + A = \begin{bmatrix} 3+1 & 7+4 \\ 1+5 & 0+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 11 \\ 6 & 2 \end{bmatrix}$
$A - B$ $A - B$
Subtract each entry of $B$ from the entry of $A$ in the same place.
هەر ژمارەیەکی $B$ لە ژمارە هاوشوێنەکەی $A$ دەربکە.
$A - B = \begin{bmatrix} 1-3 & 4-7 \\ 5-1 & 2-0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$
$B - A$ $B - A$
Every sign is the opposite of $A - B$ : $B - A = -(A - B)$ .
هەموو هێمایەک پێچەوانەی $A - B$ ـە: $B - A = -(A - B)$ .
$B - A = \begin{bmatrix} 3-1 & 7-4 \\ 1-5 & 0-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -2 \end{bmatrix}$

So for addition the order of the two matrices does not matter, but for subtraction it does.

کەواتە بۆ کۆکردنەوە ڕیزبەندیی دوو گرنگ نییە، بەڵام بۆ لێدەرکردن گرنگە.

Multiplying a matrix by a numberلێکدانی ماتریکس لە ژمارەیەک

To multiply a matrix by a number $k$ (a ), multiply every entry by $k$ . The number may be positive or negative. The notes' examples:

بۆ لێکدانی لە ژمارەی $k$ ()، هەموو ژمارەکانی لە $k$ بدە. ژمارەکە دەکرێت موجەب یان سالب بێت. نموونەکانی تێبینییەکان:

2\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 2 \\ 6 & 12 \end{bmatrix} \qquad -1\begin{bmatrix} -4 & 1 \\ -3 & 5 \\ -6 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 3 & -5 \\ 6 & 2 \end{bmatrix}

A real use: a tea house in Sulaymaniyah keeps its prices in IQD in a matrix (rows: tea, coffee; columns: small, large). The owner raises every price by $10\%$ , which means multiplying the whole matrix by $1.10$ :

بەکارهێنانێکی ڕاستەقینە: چایخانەیەک لە سلێمانی نرخەکانی بە دینار لە هەڵدەگرێت (ڕیزەکان: چا، قاوە؛ ستوونەکان: بچووک، گەورە). خاوەنەکەی هەموو نرخێک $10\%$ زیاد دەکات، واتە هەموو لە $1.10$ دەدات:

1.10 \times \begin{bmatrix} 500 & 750 \\ 1000 & 1500 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 550 & 825 \\ 1100 & 1650 \end{bmatrix}

Two special multiples are worth naming. $-A = (-1)A$ flips the sign of every entry. And subtraction is really addition of a negative multiple: $A - B = A + (-1)B$ . With the matrices of the worked example, $A + (-1)B = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 & -7 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$ , the same as $A - B$ .

دوو لێکدانی تایبەت شایەنی ناونانن. $-A = (-1)A$ هێمای هەموو ژمارەیەک پێچەوانە دەکاتەوە. لێدەرکردنیش لە ڕاستیدا کۆکردنەوەی لێکدانێکی سالبە: $A - B = A + (-1)B$ . بە نموونە شیکراوەکە، $A + (-1)B = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 & -7 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$ ، هەمان $A - B$ .

Quick checkپشکنینی خێراWhat is

3\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}

?

3\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}

چەندە؟

\begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 12 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 12 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 6 & -1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 6 & -1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}

The trace of a square matrixکۆی تیرەی ماتریکسێکی چوارگۆشەیی

One more tool is needed for the properties below. The of a is the sum of the numbers on its :

بۆ تایبەتمەندییەکانی خوارەوە ئامرازێکی تر پێویستە. کۆی ژمارەکانی سەر :

\operatorname{tr} A = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}

\operatorname{tr} \begin{bmatrix} 4 & 1 & -2 \\ 0 & 3 & 5 \\ 7 & -1 & 2 \end{bmatrix} = 4 + 3 + 2 = 9

Properties of matrix additionتایبەتمەندییەکانی کۆکردنەوەی ماتریکسەکان

Let $A$ , $B$ and $C$ have the same order, let $O$ be the of that order and $k$ a number. The notes list seven properties:

با $A$ ، $B$ و $C$ هەمان قەبارەیان هەبێت، $O$ بێت بە هەمان قەبارە و $k$ ژمارەیەک بێت. تێبینییەکان حەوت تایبەتمەندی دەژمێرن:

The properties of additionتایبەتمەندییەکانی کۆکردنەوە
#	Propertyتایبەتمەندی	Name / meaningناو / واتا
1	$A + B = B + A$	: order does not matter: ڕیزبەندی گرنگ نییە
2	$A + (B + C) = (A + B) + C$	: grouping does not matter: کۆمەڵکردن گرنگ نییە
3	$k(A + B) = kA + kB = (A + B)k$	a number multiplies out over a sumژمارە بەسەر کۆدا دابەش دەبێت
4	$A + O = O + A = A$	$O$ changes nothing, like 0 for numbers $O$ هیچ ناگۆڕێت، وەک 0 بۆ ژمارەکان
5	$A = B \Rightarrow A + C = B + C$	adding the same matrix keeps equalityزیادکردنی هەمان یەکسانی دەپارێزێت
6	$A + (-A) = O$	$-A$ cancels $A$ $-A$ $A$ لادەبات
7	$\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}A + \operatorname{tr}B$	for square matrices: the trace of a sumبۆ : کۆیەک

Property 7 was unfinishedتایبەتمەندیی 7 تەواو نەکرابوو

In the notes, property 7 stops after the words “the sum of the diagonal elements”. The sum of the diagonal elements is the , and the finished property is $\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}A + \operatorname{tr}B$ for square matrices of the same order. It is true because the diagonal of $A + B$ is made of the sums $a_{ii} + b_{ii}$ .

لە تێبینییەکاندا تایبەتمەندیی 7 دوای وشەکانی «کۆی ژمارەکانی تیرە» دەوەستێت. کۆی ژمارەکانی تیرە و تایبەتمەندییە تەواوەکە $\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}A + \operatorname{tr}B$ ـە بۆ بە هەمان قەبارە. ڕاستە چونکە تیرەی $A + B$ لە کۆکانی $a_{ii} + b_{ii}$ پێکهاتووە.

Properties of matrix additionتایبەتمەندییەکانی کۆکردنەوەی ماتریکسەکان

Why the properties holdبۆچی ئەم تایبەتمەندییانە ڕاستن

Why are they true? Each one is a rule of ordinary numbers applied to every entry separately. For example, $a_{ij} + b_{ij} = b_{ij} + a_{ij}$ for numbers, so $A + B = B + A$ for matrices. A quick check with the worked example's $A$ , $B$ and $C = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ :

بۆچی ڕاستن؟ هەر یەکەیان یاسایەکی ژمارە ئاساییەکانە کە جیا جیا لەسەر هەر ژمارەیەک جێبەجێ دەکرێت. بۆ نموونە، بۆ ژمارەکان $a_{ij} + b_{ij} = b_{ij} + a_{ij}$ ، بۆیە بۆ $A + B = B + A$ . پشکنینێکی خێرا بە $A$ و $B$ ی نموونە شیکراوەکە و $C = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ :

\begin{aligned} A + (B + C) &= (A + B) + C = \begin{bmatrix} 4 & 9 \\ 9 & 3 \end{bmatrix} \\ 3(A + B) &= 3A + 3B = \begin{bmatrix} 3 & 12 \\ 15 & 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 9 & 21 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 & 33 \\ 18 & 6 \end{bmatrix} \\ \operatorname{tr}(A + B) &= 4 + 2 = 6 = \operatorname{tr}A + \operatorname{tr}B = (1 + 2) + (3 + 0) \end{aligned}

Quick checkپشکنینی خێراWhy is

A + (B + C) = (A + B) + C

true for matrices?بۆچی

A + (B + C) = (A + B) + C

بۆ ڕاستە؟Because matrices are always squareچونکە ماتریکسەکان هەمیشە چوارگۆشەیینBecause

C

must be the zero matrixچونکە دەبێت

C

ماتریکسی سفر بێتBecause it is true for the numbers in each placeچونکە بۆ ژمارەکانی هەر شوێنێک ڕاستە

Properties of multiplying by a numberتایبەتمەندییەکانی لێکدان لە ژمارە

Let $r$ and $s$ be real numbers and $A$ , $B$ matrices. Then:

با $r$ و $s$ دوو بن و $A$ ، $B$ دوو بن. ئەو کاتە:

$r(sA) = (rs)A$ — multiplying twice is multiplying once by the product. Check: $2(3A) = 6A$ .
$(r + s)A = rA + sA$ . Check with the worked example's $A$ : $2A + 3A = 5A = \begin{bmatrix} 5 & 20 \\ 25 & 10 \end{bmatrix}$ .
$r(A + B) = rA + rB$ (the same as addition property 3).
$A(rB) = r(AB) = (rA)B$ — a number can move freely through a matrix product. It is used in Multiplying Matrices.

$r(sA) = (rs)A$ — دوو جار لێکدان وەک یەک جار لێکدانە لە لێکدراوەکەیان. پشکنین: $2(3A) = 6A$ .
$(r + s)A = rA + sA$ . پشکنین بە $A$ ی نموونە شیکراوەکە: $2A + 3A = 5A = \begin{bmatrix} 5 & 20 \\ 25 & 10 \end{bmatrix}$ .
$r(A + B) = rA + rB$ (هەمان تایبەتمەندیی 3ی کۆکردنەوە).
$A(rB) = r(AB) = (rA)B$ — ژمارە بە ئازادی بە ناو لێکدانی دەجووڵێت. لە لێکدانی ماتریکسەکاندا بەکاردێت.

Two more follow straight from the definition: $1A = A$ and $0A = O$ .

دوو تایبەتمەندیی تر ڕاستەوخۆ لە پێناسەکەوە دێن: $1A = A$ و $0A = O$ .

Solving a matrix equationشیکارکردنی هاوکێشەیەکی ماتریکس

The properties let you solve equations whose unknown is a whole matrix $X$ , just like $2x + a = b$ for numbers. Solve $2X + A = B$ for

تایبەتمەندییەکان ڕێگە دەدەن شیکار بکەیت کە نەزانراوەکەی تەواوە $X$ ، ڕێک وەک $2x + a = b$ بۆ ژمارەکان. $2X + A = B$ شیکار بکە بۆ

A = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -2 & 6 \end{bmatrix}

Add $-A$ to both sides $-A$ بخە سەر هەردوو لا
By property 6, $A + (-A) = O$ , so $A$ disappears from the left.
بە تایبەتمەندیی 6، $A + (-A) = O$ ، بۆیە $A$ لە لای چەپ نامێنێت.
$2X = B - A = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ -6 & 6 \end{bmatrix}$
Multiply both sides by $\tfrac12$ هەردوو لا لە $\tfrac12$ بدە
By the property $r(sA) = (rs)A$ , $\tfrac12(2X)$ becomes $X$ .
بە تایبەتمەندیی $r(sA) = (rs)A$ ، $\tfrac12(2X)$ دەبێتە $X$ .
$X = \tfrac12(B - A) = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -3 & 3 \end{bmatrix}$
Checkپشکنین
Put $X$ back into the equation.
$X$ بگەڕێنەوە ناو .
$2X + A = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ -6 & 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -2 & 6 \end{bmatrix} = B \;\checkmark$

Notice that we never divided by a matrix — only by the number 2. Dividing by a matrix is not defined; the chapter's lesson on inverses shows what takes its place (Why inverses? There is no matrix division) and how it solves equations such as $AX = B$ (Using the inverse).

سەرنج بدە کە هەرگیز دابەشی نەکرا — تەنها دابەشی ژمارەی 2. دابەشکردن بەسەر پێناسە نەکراوە؛ وانەی پێچەوانەکانی ئەم بەشە پیشان دەدات چی جێگەی دەگرێتەوە (بۆچی پێچەوانە؟ دابەشکردنی ماتریکس نییە) و چۆن وەک $AX = B$ شیکار دەکات (بەکارهێنانی پێچەوانە).

In computing: adding tables in codeلە کۆمپیوتەردا: کۆکردنەوەی خشتە لە کۆددا

Matrix addition is a nested loopکۆکردنەوەی ماتریکس خولێکی ناوەکییە

In Python a matrix is a list of rows (Row index, then column index). To add two of them, visit every position with two loops, as in Adding up the whole table: the outer loop picks the row $i$ , the inner loop the column $j$ . Careful: A + B on two Python lists joins them into a longer list — it does not add matrices. MATLAB adds matrices directly with A + B and 3*A: see Adding and subtracting arrays.

لە Pythonـدا لە ڕیزەکان (ئیندێکسی ڕیز، پاشان ستوون). بۆ کۆکردنەوەی دووانیان، بە دوو سەردانی هەموو شوێنێک بکە، وەک لە کۆکردنەوەی هەموو خشتەکە: ڕیزی $i$ هەڵدەبژێرێت و ستوونی $j$ . ئاگاداربە: A + B لەسەر دوو Python ئەوان بەیەکەوە دەلکێنێت و درێژتر دروست دەکات — کۆ ناکاتەوە. MATLAB ڕاستەوخۆ بە A + B و 3*A کۆ دەکاتەوە: بڕوانە کۆکردنەوە و لێدەرکردنی ڕیزەکەکان.

Adding two

2 \times 3

matricesکۆکردنەوەی دوو ماتریکسی

2 \times 3

add_matrices.pyPYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

A = [[12, 30, 5], [8, 25, 7]]   # Erbil branch
B = [[10, 22, 6], [9, 18, 4]]   # Duhok branch
C = [[0] * 3 for _ in range(2)]
for i in range(2):
    for j in range(3):
        C[i][j] = A[i][j] + B[i][j]
print(C)
print(A + B)   # not matrix addition!

Explain the codeڕوونکردنەوەی کۆدەکە

Lineدێڕی 3

An empty $2 \times 3$ result filled with zeros.

وەڵامێکی بەتاڵی $2 \times 3$ کە بە سفر پڕ کراوە.

Lineدێڕی 6

One entry: $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ .

یەک ژمارە: $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ .

Lineدێڕی 8

+ on lists joins them: four rows, not a sum.

+ لەسەر بەیەکەوەیان دەلکێنێت: چوار ڕیز، نەک کۆ.

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	What is trueڕاستییەکە
Adding a $2 \times 3$ and a $3 \times 2$ matrix by filling the gaps with zeros.کۆکردنەوەی $2 \times 3$ و $3 \times 2$ بە پڕکردنەوەی بۆشاییەکان بە سفر.	Different orders: the sum is not defined.قەبارەی جیاواز: کۆکە پێناسە نەکراوە.
$2\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ $2\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$	Every entry is multiplied: $\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$ .هەموو ژمارەیەک لێک دەدرێت: $\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$ .
$A - B = B - A$ $A - B = B - A$	$B - A = -(A - B)$ : every sign flips. $B - A = -(A - B)$ : هەموو هێمایەک پێچەوانە دەبێتەوە.
Adding all entries to get the trace.کۆکردنەوەی هەموو ژمارەکان بۆ دۆزینەوەی .	Only the counts, and only square matrices have a trace.تەنها حیساب دەکرێت و تەنها هەیە.
Writing `A + B` in Python to add two matrices stored as lists.نووسینی `A + B` لە Pythonـدا بۆ کۆکردنەوەی دوو کە وەک هەڵگیراون.	It joins the lists; add entry by entry with loops. بەیەکەوە دەلکێنێت؛ بە ژمارە بە ژمارە کۆ بکەرەوە.
“Dividing” $2X = B - A$ by a matrix.«دابەشکردن»ی $2X = B - A$ بەسەر .	Divide by the number 2 (multiply by $\tfrac12$ ).دابەشی ژمارەی 2 بکە (لە $\tfrac12$ بیدە).

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانExercise 1: sums, differences, multiplesڕاهێنانی 1: کۆ، جیاوازی، لێکدان

Let $P = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 4 & -2 \end{bmatrix}$ and $Q = \begin{bmatrix} 1 & 5 & -3 \\ 0 & -2 & 6 \end{bmatrix}$ . Find $P + Q$ , $Q - P$ and $3P - 2Q$ .

با $P = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 4 & -2 \end{bmatrix}$ و $Q = \begin{bmatrix} 1 & 5 & -3 \\ 0 & -2 & 6 \end{bmatrix}$ بن. $P + Q$ ، $Q - P$ و $3P - 2Q$ بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

P + Q = \begin{bmatrix} 3 & 4 & -3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix} \qquad Q - P = \begin{bmatrix} -1 & 6 & -3 \\ -3 & -6 & 8 \end{bmatrix}

3P - 2Q = \begin{bmatrix} 6 & -3 & 0 \\ 9 & 12 & -6 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 10 & -6 \\ 0 & -4 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -13 & 6 \\ 9 & 16 & -18 \end{bmatrix}

ExerciseڕاهێنانExercise 2: a negative multipleڕاهێنانی 2: لێکدان لە ژمارەیەکی سالب

Find $-2\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 4 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$ .

$-2\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 4 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$ بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{bmatrix} -6 & 2 \\ 0 & -8 \\ 10 & -4 \end{bmatrix}

ExerciseڕاهێنانExercise 3: find the unknownsڕاهێنانی 3: نەزانراوەکان بدۆزەرەوە

Find $a, b, c, d$ if $\begin{bmatrix} a & 3 \\ 2c & d \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & b \\ c & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 12 & 0 \end{bmatrix}$ .

$a, b, c, d$ بدۆزەرەوە ئەگەر $\begin{bmatrix} a & 3 \\ 2c & d \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & b \\ c & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 12 & 0 \end{bmatrix}$ .

Hintئاماژە

Add first, then set each entry equal to the matching entry on the right.

سەرەتا کۆ بکەرەوە، پاشان هەر ژمارەیەک یەکسان بکە بە ژمارە هاوشوێنەکەی لای ڕاست.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

a + 2 = 5 \Rightarrow a = 3, \quad 3 + b = 1 \Rightarrow b = -2, \quad 2c + c = 12 \Rightarrow c = 4, \quad d - 3 = 0 \Rightarrow d = 3

ExerciseڕاهێنانExercise 4: the trace propertyڕاهێنانی 4: تایبەتمەندیی کۆی تیرە

Check $\operatorname{tr}(G + H) = \operatorname{tr}G + \operatorname{tr}H$ for $G = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ and $H = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$ .

$\operatorname{tr}(G + H) = \operatorname{tr}G + \operatorname{tr}H$ بپشکنە بۆ $G = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ و $H = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$ .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

G + H = \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ -5 & 5 \end{bmatrix}, \quad \operatorname{tr}(G + H) = 10 = (1 + 3) + (4 + 2)

ExerciseڕاهێنانExercise 5: a matrix equationڕاهێنانی 5: هاوکێشەیەکی ماتریکس

Solve $3X - B = A$ for $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -4 \end{bmatrix}$ and $B = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$ .

$3X - B = A$ شیکار بکە بۆ $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -4 \end{bmatrix}$ و $B = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$ .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

3X = A + B = \begin{bmatrix} 6 & 6 \\ -3 & -3 \end{bmatrix} \;\Rightarrow\; X = \tfrac13(A + B) = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}

ExerciseڕاهێنانExercise 6: spot the mistakeڕاهێنانی 6: هەڵەکە بدۆزەرەوە

Dilan wrote $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 9 & 4 \end{bmatrix}$ . What went wrong?

دیلان نووسی $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 9 & 4 \end{bmatrix}$ . چی هەڵە بوو؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

The orders are $2 \times 2$ and $2 \times 1$ , so the sum is not defined. Dilan added the column to column 1 and left column 2 alone, which is not a rule of matrix addition.

قەبارەکان $2 \times 2$ و $2 \times 1$ ـن، بۆیە کۆکە پێناسە نەکراوە. دیلان ستوونەکەی خستە سەر ستوونی 1 و ستوونی 2ی بە جێ هێشت کە یاسایەکی کۆکردنەوەی نییە.

Summaryپوختە

Add or subtract only matrices of the same order, entry by entry: $c_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij}$ . Different orders: not defined.
$kA$ multiplies every entry by $k$ ; $-A = (-1)A$ and $A - B = A + (-1)B$ .
Addition is commutative and associative, $A + O = A$ , $A + (-A) = O$ , $k(A + B) = kA + kB$ ; subtraction is not commutative.
The trace $\operatorname{tr}A$ is the sum of the main diagonal; $\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}A + \operatorname{tr}B$ (the notes' unfinished property 7).
Matrix equations such as $2X + A = B$ are solved like number equations: $X = \tfrac12(B - A)$ .

تەنها ئەو کۆ بکەرەوە یان لێ دەربکە کە هەمان قەبارەیان هەیە، ژمارە بە ژمارە: $c_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij}$ . قەبارەی جیاواز: پێناسە نەکراوە.
$kA$ هەموو ژمارەیەک لە $k$ دەدات؛ $-A = (-1)A$ و $A - B = A + (-1)B$ .
کۆکردنەوە و پەیڕەو دەکات، $A + O = A$ ، $A + (-A) = O$ ، $k(A + B) = kA + kB$ ؛ لێدەرکردن ئاڵوگۆڕ قبوڵ ناکات.
$\operatorname{tr}A$ کۆی ؛ $\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}A + \operatorname{tr}B$ (تایبەتمەندیی 7ی تەواونەکراوی تێبینییەکان).
وەک $2X + A = B$ وەک ژمارە شیکار دەکرێن: $X = \tfrac12(B - A)$ .

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Can a

3 \times 1

and a

1 \times 3

matrix be added?ئایا ماتریکسێکی

3 \times 1

و

1 \times 3

کۆ دەکرێنەوە؟

No. They have three numbers each, but different orders.

نەخێر. هەریەکەیان سێ ژمارەیان هەیە، بەڵام قەبارەیان جیاوازە.

Why is

A + B = B + A

always true?بۆچی

A + B = B + A

هەمیشە ڕاستە؟

Because it is true for every pair of numbers $a_{ij}$ , $b_{ij}$ , and matrix addition works entry by entry.

چونکە بۆ هەموو جووتێک ژمارەی $a_{ij}$ ، $b_{ij}$ ڕاستە و کۆکردنەوەی ژمارە بە ژمارە کار دەکات.

Next: Multiplying Matrices.

دواتر: لێکدانی ماتریکسەکان.

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

Intro to MatricesThe Organic Chemistry Tutor · Englishئینگلیزی · 3.9M viewsبینین · 63K likesلایک · Partبەشی 7:38–11:23 (ofلە 11:23)
Adding and subtracting matrices of the same order entry by entry, and multiplying every entry by a number (scalar multiplication).
کۆکردنەوە و لێدەرکردنی دوو کە هەمان قەبارەیان هەیە، ژمارە بە ژمارە، هەروەها لێکدانی هەموو ژمارەکان لە یەک ژمارە (لێکدان لە ).
Plays from 7:38 ('Adding'): addition, subtraction and scalar multiples with worked examples. The first part (what a matrix is, order) is skipped.
لە ⁦7:38⁩ـەوە پەخش دەبێت (بەشی «Adding»): کۆکردنەوە، لێدەرکردن و لێکدان لە ، بە نموونەی چارەسەرکراو. بەشی یەکەم ( چییە و قەبارەکەی) بەجێ دەهێڵرێت.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Multiplying Matricesلێکدانی ماتریکسەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.