Binary Addition and Subtractionکۆکردنەوەی دووانی و لێدەرکردنی دووانی

Binary arithmetic is an essential part of every digital computer and of many other digital systems. Inside a processor, adding bits is one of the most common jobs: everything from moving a mouse pointer to showing a video ends up as additions of bits.

ژمێرکاریی دووانی بەشێکی سەرەکیی هەموو کۆمپیوتەرێکی (Computer) دیجیتاڵ (Digital) و زۆر سیستەمی دیجیتاڵیی ترە. لە ناو CPUـدا کۆکردنەوەی بیتەکان یەکێکە لە باوترین کارەکان: هەموو شتێک، لە جووڵاندنی ماوسەوە تا پیشاندانی ڤیدیۆ، لە کۆتاییدا دەبێتە کۆکردنەوەی بیتەکان.

This chapter of the course covers, in order:

ئەم بەشەی کۆرسەکە بەم ڕیزبەندییە ئەمانە فێر دەکات:

The good news: you already know the method from decimal. Only one thing changes. In decimal a column overflows when it reaches 10; in binary it overflows when it reaches 2.

هەواڵی خۆش: ڕێگاکە لە دەییەوە دەزانیت. تەنها یەک شت دەگۆڕێت. لە دەییدا ستوونێک کاتێک پڕ دەبێت کە دەگاتە ⁦10⁩؛ لە دووانیدا کاتێک کە دەگاتە 2.

Adding two bits has only four possible cases. The last one is the interesting one: $1+1 = 2$, and 2 in binary is 10. So you write 0 and carry 1, exactly like $8 + 2 = 10$ in decimal, where you also write 0 and carry 1.

کۆکردنەوەی دوو بیت تەنها چوار حاڵەتی هەیە. دواینیان سەرنجڕاکێشە: $1+1 = 2$ و 2 لە دووانیدا ⁦10⁩ـە. کەواتە 0 دەنووسیت و 1 دەگوازیتەوە، ڕێک وەک $8 + 2 = 10$ لە دەییدا، کە لەوێش 0 دەنووسیت و 1 دەگوازیتەوە.

Later, in Adders, you will meet a small circuit, the full adder, that does exactly this job for one column: it takes two bits and a carry in, and gives a sum bit and a carry out.

دواتر لە کۆکەرەوەکان سووڕێکی (Electric circuit) بچووک دەناسیت، کۆکەرەوەی تەواو (Full adder)، کە ڕێک ئەم کارە بۆ یەک ستوون دەکات: دوو بیت و گواستراوەیەکی هاتوو وەردەگرێت و بیتی ئەنجام و گواستراوەیەک بۆ ستوونی دواتر دەدات.

Write the two numbers under each other with their right ends lined up. Start at the right-hand column. In every column add the two bits and the carry that came in, write the sum bit underneath and carry the rest to the next column on the left. Watch the carry travel through every column of $1011 + 0111$:

دوو ژمارەکە لە ژێر یەکتر بنووسە و سەری ڕاستیان ڕێک لە ژێر یەک بێت. لە ستوونی لای ڕاستەوە دەست پێبکە. لە هەر ستوونێکدا دوو بیتەکە و ئەو گواستراوەیەی هاتووە کۆ بکەرەوە، بیتی ئەنجام لە خوارەوە بنووسە و ئەوەی دەمێنێتەوە بگوازەرەوە بۆ ستوونی دواتری لای چەپ. سەیر بکە چۆن گواستراوەکە بە هەموو ستوونەکانی $1011 + 0111$دا دەڕوات:

When the numbers have different lengths, line up the right ends, never the left ends. Zeros on the left do not change a value, so you may add them to make the columns easy to see: 11 is the same as 011.

کاتێک ژمارەکان درێژییان جیاوازە، سەری ڕاستیان ڕێک بخە، هەرگیز سەری چەپیان نا. سفری لای چەپ بەها ناگۆڕێت، بۆیە دەتوانیت زیادی بکەیت تا ستوونەکان ئاسان ببینرێن: ⁦11⁩ هەمان ⁦011⁩ـە.

Adding two n-bit numbers can give an answer with $n + 1$ bits, as in $101 + 011 = 1000$. On paper that is no problem. A computer, however, keeps each number in a register with a fixed number of bits. Watch a 5-bit register add $10111 + 10010$ ($23 + 18$):

کۆکردنەوەی دوو ژمارەی n بیتی دەتوانێت وەڵامێکی $n + 1$ بیتی بدات، وەک $101 + 011 = 1000$. لەسەر کاغەز ئەمە کێشە نییە. بەڵام کۆمپیوتەر هەر ژمارەیەک لە تۆمارگەیەکدا هەڵدەگرێت کە ژمارەی بیتەکانی جێگیرە. سەیر بکە تۆمارگەیەکی 5 بیتی چۆن $10111 + 10010$ ($23 + 18$) کۆ دەکاتەوە:

For unsigned numbers this lost carry is the overflow: the stored answer, 9 instead of 41, is wrong. The processor notices, because the carry out of the last column is 1, and records it in a special status bit (the carry flag) so that a program can react. Signed numbers are judged differently: there, a carry out of the last column is often harmless.

بۆ ژمارە بێنیشانەکان (Unsigned number) ئەم گواستراوە ونبووە خۆی سەرڕێژبوونـە: وەڵامە هەڵگیراوەکە، 9 لە جیاتی ⁦41⁩، هەڵەیە. CPU هەستی پێدەکات، چونکە گواستراوەی دوایین ستوون 1ـە و لە بیتێکی تایبەتدا تۆماری دەکات (carry flag) تا بەرنامە (Program) بتوانێت کاردانەوەی هەبێت. ژمارە نیشانەدارەکان بە شێوەیەکی تر هەڵدەسەنگێنرێن: لەوێ گواستراوەیەک کە لە دوایین ستوون دەردەچێت زۆرجار زیانی نییە.

Binary subtraction is a little more difficult than addition, because of one case: $0 - 1$. A column cannot give 1 when it has 0, so it borrows 1 from the column on its left. That borrowed 1 is worth 2 in this column ($10_2 = 2$), and $2 - 1 = 1$.

لێدەرکردنی دووانی کەمێک لە کۆکردنەوە قورسترە، لەبەر یەک حاڵەت: $0 - 1$. ستوونێک کە 0ـی هەیە ناتوانێت 1 بدات، بۆیە لە ستوونی لای چەپییەوە 1 دەخوازێت. ئەو 1ـە خوازراوە لەم ستوونەدا بەهای 2ـە ($10_2 = 2$) و $2 - 1 = 1$.

A column that lent 1 to its right neighbour must subtract 1 more. So once borrows start, each column computes top − bottom − borrow. If the result is below 0, add 2 and borrow from the next column. The four extra cases:

ستوونێک کە 1ـی بە دراوسێی لای ڕاستی قەرز داوە، دەبێت 1ـی زیاتر لێ دەربکات. کەواتە کە خواستن دەستی پێکرد، هەر ستوونێک ئەمە دەکات: سەرەوە − خوارەوە − خواستن. ئەگەر ئەنجام لە 0 کەمتر بوو، 2ـی بخەرە سەر و لە ستوونی دواتر بخوازە. چوار حاڵەتە زیادەکە:

These four rows are the subtraction partner of the $1+1+1$ row in addition. With them you can do any subtraction column by column.

ئەم چوار ڕیزە هاوتای ڕیزی $1+1+1$ـن لە کۆکردنەوەدا. بە یارمەتییان دەتوانیت هەموو لێدەرکردنێک ستوون بە ستوون بکەیت.

Here is $1101 - 0110$ ($13 - 6$). In the layout, a small 1 above a column means: this column lent 1 to its right neighbour, so subtract 1 more here.

ئەمە $1101 - 0110$ـە ($13 - 6$). لە شێوەکەدا، 1ـێکی بچووک لە سەر ستوونێک واتە: ئەم ستوونە 1ـی بە دراوسێی لای ڕاستی قەرز داوە، بۆیە لێرەدا 1ـی زیاتر لێ دەربکە.

What if the column on the left is 0? Then it cannot lend at once: it borrows from its left neighbour first, and the borrow travels left until it reaches a 1. You know this from decimal: in $1000 - 3$ the borrow passes two zeros, and they become 9s (997). In binary the zeros it passes become 1s.

ئەی ئەگەر ستوونی لای چەپ 0 بێت؟ ئەو کاتە ناتوانێت یەکسەر قەرز بدات: سەرەتا خۆی لە دراوسێی لای چەپی خۆی دەخوازێت و خواستنەکە بەرەو چەپ دەڕوات تا دەگاتە 1ـێک. ئەمە لە دەییەوە دەزانیت: لە $1000 - 3$دا خواستنەکە بە سەر دوو سفردا تێدەپەڕێت و دەبنە 9 ($997$). لە دووانیدا ئەو سفرانەی پێیاندا تێدەپەڕێت دەبنە 1.

A subtraction is easy to check: difference + bottom number = top number. For $1101 - 0110 = 0111$, add back:

پشکنینی لێدەرکردن ئاسانە: جیاوازی + ژمارەی خوارەوە = ژمارەی سەرەوە. بۆ $1101 - 0110 = 0111$، بیخەرەوە سەری:

If the bottom number is bigger, a borrow is left over at the far left with no column to pay it, for example in $011 - 101$ ($3 - 5$). The real answer, $-2$, is negative, and plain binary has no minus sign. Computers solve this with complements: they even subtract by adding the 2's complement, so one adder circuit does both jobs. See 1's and 2's complements and signed arithmetic.

ئەگەر ژمارەی خوارەوە گەورەتر بێت، خواستنێک لە تەواو لای چەپ دەمێنێتەوە و هیچ ستوونێک نییە بیداتەوە، بۆ نموونە لە $011 - 101$دا ($3 - 5$). وەڵامی ڕاستەقینە، $-2$، ژمارەی سالبە و دووانیی سادە نیشانەی سالبی نییە. کۆمپیوتەرەکان ئەمە بە تەواوکەرەکان چارەسەر دەکەن: تەنانەت بە کۆکردنەوەی تەواوکەری دوو (2's complement) لێدەردەکەن، بۆیە یەک کۆکەرەوە (Adder) هەردوو کارەکە دەکات. بڕوانە تەواوکەری یەک و تەواوکەری دوو و ژمێرکاریی ژمارە نیشانەدارەکان.

The safest habit: after every exam answer, convert the numbers to decimal and check ($3+3 = 6$, $45 - 14 = 31$ …). It takes a moment and catches almost every slip.

باشترین خوو: دوای هەر وەڵامێکی تاقیکردنەوە، ژمارەکان بگۆڕە بۆ دەیی و بیپشکنە ($3+3 = 6$، $45 - 14 = 31$ ...). تەنها چەند چرکەیەکی دەوێت و نزیکەی هەموو هەڵەیەک دەگرێت.

These are the lecture's exercises. Do them on paper with the carry or borrow row, then compare with the layouts in the answers.

ئەمانە ڕاهێنانەکانی وانەکەن. لەسەر کاغەز بە ڕیزی گواستراوە یان خواستن بیانکە، پاشان لەگەڵ شێوەکانی ناو وەڵامەکاندا بەراوردیان بکە.