Mathematics and Computers: Why IT Students Need Mathsبیرکاری و کۆمپیوتەر: بۆچی خوێندکاری IT پێویستی بە بیرکارییە؟

Many computer students ask the same question: “What does maths have to do with computers? Why must we study it?” People outside computing ask it too. The first two lessons of this course answer that question. They grew out of an essay that an IT student wrote for his statistics class, called Mathematics and Computers (the relationships between them).

زۆرێک لە خوێندکارانی بەشە کۆمپیوتەرییەکان هەمان پرسیار دەکەن: «ئاخر بیرکاری چ پەیوەندییەکی بە کۆمپیوتەرەوە هەیە؟ بۆچی دەبێت بیخوێنین؟» خەڵکی دەرەوەی بواری کۆمپیوتەریش هەمان پرسیار دەکەن. دوو وانەی یەکەمی ئەم خولە وەڵامی ئەم پرسیارە دەدەنەوە. لە نامیلکەیەکەوە سەریان هەڵداوە کە خوێندکارێکی IT بۆ وانەی ئامار (Statistics) نووسیویەتی، بە ناوی بیرکاری و کۆمپیوتەر (پەیوەندییەکانی نێوانیان).

The essay opens by thanking a summer-school maths teacher who gave its author hope again after he had given up on maths. If maths once beat you too, keep going: this chapter starts from everyday ideas, not from hard symbols.

نامیلکەکە بە سوپاسکردنی مامۆستایەکی بیرکاریی خولی هاوینە دەست پێدەکات کە دوای ئەوەی نووسەرەکە لە بیرکاری نائومێد بووبوو، ئومێدی پێ بەخشییەوە. ئەگەر تۆش جارێک بیرکاری بەزاندوویتی، بەردەوام بە: ئەم بەشە لە بیرۆکەی ڕۆژانەوە دەست پێدەکات، نەک لە نیشانە قورسەکان.

At first the essay was called The relationship between mathematics and computers. Its author renamed it so that it could also talk about mathematics and its branches in general. This lesson follows the same plan: what mathematics is, where you meet it every day, its branches, where computers came from, and then the many links between the two.

سەرەتا ناوی نامیلکەکە پەیوەندیی نێوان بیرکاری و کۆمپیوتەر بوو. نووسەرەکە ناوەکەی گۆڕی بۆ ئەوەی بە گشتی باسی بیرکاری و لقەکانیشی بکات. ئەم وانەیە هەمان پلان پەیڕەو دەکات: بیرکاری چییە، ڕۆژانە لە کوێ دەیبینیت، لقەکانی، کۆمپیوتەر لە کوێوە هات و پاشان پەیوەندییە زۆرەکانی نێوان ئەم دووانە.

The word mathematics comes from the Greek máthēma, “something learned, knowledge”. In Kurdish we say بیرکاری (also ماتماتیک). Mathematics is a very wide science. It studies quantity (how many, how much), structure such as unknowns and expressions (algebra), shape and space (geometry) and change (integrals and the rest of calculus), and much more.

وشەی ماتماتیک لە وشەی گریکیی máthēmaوە هاتووە، بە واتای «شتێک کە فێری دەبیت، زانین». لە کوردیدا دەڵێین بیرکاری (هەروەها ماتماتیک). بیرکاری زانستێکی زۆر فراوانە. لە چەندێتی دەکۆڵێتەوە (چەند دانە، چەند بڕ)، لە پێکهاتە وەک نەزانراو و دەربڕینە جەبرییەکان (Algebraic expression) (جەبر (Algebra))، لە شێوە و بۆشایی (ئەندازەزانی (Geometry)) و لە گۆڕان (تەواوکارییەکان (Integral) و بەشەکانی تری کالکولەس)، هەروەها زۆر شتی تر.

Mathematics is built on Proof: a statement counts as true only when it is proved step by step from agreed starting points. That is why $2 + 3 = 5$ is the same in every country, every language and every century.

بیرکاری لەسەر سەلماندن (Proof) بنیات نراوە: ڕستەیەک تەنها کاتێک بە ڕاست دادەنرێت کە هەنگاو بە هەنگاو لە خاڵی دەستپێکی ڕێککەوتوو لەسەرەوە بسەلمێنرێت. لەبەر ئەوە $2 + 3 = 5$ لە هەموو وڵاتێک، هەموو زمانێک و هەموو سەدەیەکدا هەمان شتە.

The word computer comes from to compute: to count and to calculate. That is why Kurdish sometimes calls it پێژمێر or بژمێر, “the counter”. Counting is also where mathematics began: since the first humans, people have counted things such as two hands and two eyes.

وشەی computer لە computeـەوە هاتووە: ژماردن و حسابکردن. لەبەر ئەوە لە کوردیدا جاروبار پێی دەگوترێت پێژمێر یان بژمێر. ژماردن خاڵی دەستپێکی بیرکارییش بوو: لە سەرەتای مرۆڤەوە خەڵک شتەکانیان ژماردووە، وەک دوو دەست و دوو چاو.

Before electronic machines existed, computer was a job title: a person who did long calculations by hand (the word is written this way already in 1613). Tools helped them. Romans moved small pebbles on counting boards; the Latin word calculus means “small pebble”. Later came the abacus, Napier's bones (rods that turn multiplication into addition, 1617) and Pascal's adding machine (1642). Electronic computers were built to do long, boring calculations faster and without mistakes.

پێش ئەوەی ئامێری ئەلیکترۆنی هەبێت، computer ناوی پیشەیەک بوو: کەسێک کە حسابی درێژی بە دەست دەکرد (ئەم وشەیە لە ساڵی ⁦1613⁩دا بەم واتایە نووسراوە). ئامراز یارمەتیی دەدان. ڕۆمانییەکان وردەبەردیان لەسەر تەختەی ژماردن دەجووڵاند؛ وشەی لاتینیی calculus واتە «وردەبەرد». دواتر چۆتکە، ئێسکەکانی نەیپەر (چەند داری بچووک کە لێکدان دەکەنە کۆکردنەوە، ⁦1617⁩) و ئامێری کۆکردنەوەی پاسکاڵ ⁦(1642)⁩ هاتن. کۆمپیوتەرە ئەلیکترۆنییەکان دروست کران بۆ ئەوەی حسابی درێژ و بێزارکەر خێراتر و بێ هەڵە بکەن.

About half of the history of computer science is the life and work of mathematicians, because the science itself stands on mathematics. A few of them:

نزیکەی نیوەی مێژووی زانستی کۆمپیوتەر ژیان و کاری بیرکاریزانەکانە، چونکە ئەم زانستە خۆی لەسەر بیرکاری وەستاوە. چەند نموونەیەک:

Many people think mathematics is only playing with numbers and a few letters. In fact it is an old, worldwide language for describing and explaining the things around us. Look at one ordinary day:

زۆر کەس وا تێدەگەن کە بیرکاری تەنها یاریکردنە بە ژمارە و چەند پیتێک. لە ڕاستیدا زمانێکی کۆن و جیهانییە بۆ وەسفکردن و ڕوونکردنەوەی ئەو شتانەی لە دەوروبەرمانن. سەیری ڕۆژێکی ئاسایی بکە:

Mathematics has two broad kinds. Pure mathematics studies ideas for their own sake: numbers, shapes, patterns and proofs. Applied mathematics uses mathematics to solve real problems in science, engineering, business and computing. The border is soft: prime numbers were studied for fun for centuries, and today they protect online banking.

بیرکاری دوو جۆری گەورەی هەیە. بیرکاریی پوخت لە بیرۆکەکان بۆ خودی خۆیان دەکۆڵێتەوە: ژمارە، شێوە، نەخش و سەلماندن. بیرکاریی بەکاربراو بیرکاری بەکار دەهێنێت بۆ وەڵامدانەوەی پرسیار و کێشە ڕاستەقینەکان لە زانست، ئەندازیاری، بازرگانی و بواری کۆمپیوتەردا. سنووری نێوانیان نەرمە: سەدان ساڵ لە ژمارە سەرەتاییەکان تەنها بۆ چێژ دەکۆڵرایەوە و ئەمڕۆ پارێزگاری لە بانکی ئۆنلاین دەکەن.

Logic (from the Greek logikē) is the art and science of reasoning. People use it in every careful activity, but it is studied above all in philosophy, mathematics and computer science. Logic examines ways of arguing and finds the most reliable way to reach the truth about something.

لۆجیک (لە یۆنانیی logikēوە) هونەر و زانستی بەکارهێنانی ئاوەزە. لە هەموو چالاکییەکی وردی ژیریدا بەکار دێت، بەڵام لە پلەی یەکەمدا لە فەلسەفە، بیرکاری و زانستی کۆمپیوتەردا لێی دەکۆڵرێتەوە. لۆجیک ڕێگاکانی بەڵگەهێنانەوە تاوتوێ دەکات و باوەڕپێکراوترین ڕێگا دەدۆزێتەوە بۆ گەیشتن بە ڕاستیی شتێک.

The essay concentrates on three branches, geometry, statistics and algebra, because their clearest examples are all around us in Kurdistan and beginners understand them easily. Geometry comes next on this page; statistics has its own lesson, What is statistics?; algebra, logic and matrices are the next lesson.

نامیلکەکە سەرنج دەخاتە سەر سێ لق، ئەندازەزانی، ئامار و جەبر، چونکە ڕوونترین نموونەکانیان لە کوردستاندا لە دەوروبەرمانن و سەرەتاییەکان بە ئاسانی لێیان تێدەگەن. ئەندازەزانی لە پەڕەی داهاتوودایە؛ ئامار وانەی تایبەتی خۆی هەیە، ئامار چییە؟؛ جەبر، لۆجیک و ماتریکسەکان (Matrix) لە وانەی داهاتوودان.

Geometry is about shapes: lines, triangles, rhombuses, hexagons, circles and the space they take up. It has two branches. Plane geometry studies flat, two-dimensional shapes that fit on a sheet of paper. Solid geometry studies three-dimensional shapes that have volume.

ئەندازەزانی پەیوەندیی بە شێوەوە هەیە: هێڵ، سێگۆشە، مەعین، شەشلا، بازنە و ئەو بۆشاییەی دەیگرن. دوو لقی هەیە. ئەندازەزانیی ڕووتەخت لە شێوەی تەخت و دووڕەهەندی دەکۆڵێتەوە کە لەسەر پەڕەیەک کاغەز جێیان دەبێتەوە. ئەندازەزانیی سێ‌ڕەهەندی لە شێوەی سێ‌ڕەهەندی دەکۆڵێتەوە کە قەبارەیان هەیە.

Not every computer scientist needs geometry. Some fields do, above all Computer graphics: making images with computers, such as animations, moving objects and video games.

هەموو کۆمپیوتەرزانێک پێویستی بە ئەندازەزانی نییە. هەندێک بوار پێویستیانە، بەتایبەت گرافیکی کۆمپیوتەری (Computer graphics): دروستکردنی وێنە بە کۆمپیوتەر، وەک ئەنیمەیشنەکان، شتە جووڵاوەکان و یارییە ڤیدیۆییەکان.

The simplest shape for building objects in games and animations is the triangle. A game character, a car or a ball is a Triangle mesh: many small flat triangles joined at their corners and edges. Why triangles? Any three points always lie on one flat surface, so a triangle can never bend or twist. Every other flat shape can be cut into triangles: a rectangle is two triangles, so the essay's car built from rectangles and squares is triangles inside. And graphics hardware (graphics cards) is built to draw millions of triangles every second.

سادەترین شێوە بۆ دروستکردنی شتەکان لە یاری و ئەنیمەیشنەکاندا سێگۆشەیە. کارەکتەرێکی یاری، ئۆتۆمبێلێک یان تۆپێک تۆڕێکی سێگۆشەییە (Triangle mesh): زۆر سێگۆشەی تەختی بچووک کە لە گۆشە و لێوارەکانیانەوە بە یەکەوە بەستراون. بۆچی سێگۆشە؟ هەر سێ خاڵێک هەمیشە لەسەر یەک ڕووی تەخت دەکەون، بۆیە سێگۆشە هەرگیز ناچەمێتەوە و بادانادات. هەموو شێوەیەکی تەختی تر دەتوانرێت بۆ سێگۆشە ببڕدرێت: لاکێشەیەک دوو سێگۆشەیە، بۆیە ئۆتۆمبێلەکەی نامیلکەکە کە لە لاکێشە و چوارگۆشە دروست کراوە، لە ناوەوە سێگۆشەیە. هەروەها کارتەکانی گرافیک (Graphics card) بۆ ئەوە دروست کراون کە لە هەر چرکەیەکدا ملیۆنان سێگۆشە بکێشن.

Right now, while you read this page, a world of calculations runs behind your screen. The screen is a grid of tiny dots called pixels, and each pixel has coordinates $(x, y)$. On screens the point $(0, 0)$ is the top-left corner: $x$ grows to the right and $y$ grows downward. (On the coordinate plane of mathematics, $y$ grows upward.)

ئێستا، لە کاتێکدا ئەم پەڕەیە دەخوێنیتەوە، دنیایەک حساب لە پشت شاشەکەتەوە ئەنجام دەدرێت. شاشە تۆڕێکی خاڵی زۆر بچووکە بە ناوی پیکسڵەکان و هەر پیکسڵێک پۆتانی (Coordinates) $(x, y)$ هەیە. لەسەر شاشە خاڵی $(0, 0)$ گۆشەی سەرەوەی چەپـە: $x$ بەرەو ڕاست زیاد دەبێت و $y$ بەرەو خوارەوە زیاد دەبێت. (لە ڕووتەختی پۆتانی بیرکاریدا $y$ بەرەو سەرەوە زیاد دەبێت.)

When you scroll, the CPU (with the graphics hardware) works out again where every line of text and every picture must go, pixel by pixel along the x and y axes. If you move the page up by 120 pixels, the computer subtracts 120 from the $y$ of everything on it. All of this is done with numbers.

کاتێک تێپەڕکردن دەکەیت، CPU (لەگەڵ ڕەقەواڵەی (Hardware) گرافیک) دووبارە حساب دەکات کە هەموو دێڕێکی دەق و هەموو وێنەیەک دەبێت بچێتە کوێ، پیکسڵ بە پیکسڵ بەپێی تەوەرەکانی (Axis) x و y. ئەگەر پەڕەکە ⁦120⁩ پیکسڵ بەرەو سەرەوە ببەیت، کۆمپیوتەر لە $y$ـی هەموو شتێکی سەر پەڕەکە ⁦120⁩ کەم دەکاتەوە. هەموو ئەمانە بە ژمارە ئەنجام دەدرێن.

A computer stores everything (numbers, letters, pictures, sound) as bits: 0 or 1. Binary is not a secret code. It is simply another number system, like the decimal one we use every day, but with two digits instead of ten. The full story is in Logic Design: Number systems. Mathsisfun's binary number system page, which the essay's author kept as a reference, is a good first read too.

کۆمپیوتەر هەموو شتێک (ژمارە، پیت، وێنە، دەنگ) وەک بیتەکان (Bit) هەڵدەگرێت: 0 یان 1. دووانی کۆدێکی نهێنی نییە. تەنها سیستەمێکی ژمارەیی (Number system) ترە، وەک سیستەمی دەیی (Decimal) کە ڕۆژانە بەکاری دەهێنین، بەڵام لە جیاتی دە ژمارە، دوو ژمارەی هەیە. هەموو چیرۆکەکە لە خولی دیزاینی لۆجیکی دیجیتاڵ (Digital logic) باس کراوە: سیستەمە ژمارەییەکان. پەڕەی سیستەمی ژمارەی دووانیی Mathsisfun کە نووسەری نامیلکەکە وەک سەرچاوە هەڵیگرتبوو، بۆ دەستپێکردن باشە.

At the lowest level a processor does only a few simple things with bits: it flips them (0 ↔ 1), shifts them left or right, combines them with logic (AND, OR, NOT, see the next lesson) and adds them. Shifting one place to the left multiplies by 2: $0101_2 = 5$ becomes $1010_2 = 10$. Shifting one place to the right divides by 2: $1100_2 = 12$ becomes $0110_2 = 6$. Even subtraction is done by adding: $6 - 3$ becomes 6 plus the two's complement of 3.

لە نزمترین ئاستدا پرۆسێسەر تەنها چەند کارێکی سادە لەگەڵ بیتەکان دەکات: پێچەوانەیان دەکاتەوە (⁦0⁩ ↔ ⁦1⁩)، بەرەو چەپ یان ڕاست دەیانخزێنێت، بە لۆجیک پێکەوەیان دەبەستێت (AND، OR، NOT، بڕوانە وانەی داهاتوو) و کۆیان دەکاتەوە. خزاندنی یەک خانە بەرەو چەپ لێکدانە لە 2: $0101_2 = 5$ دەبێتە $1010_2 = 10$. خزاندنی یەک خانە بەرەو ڕاست دابەشکردنە بەسەر 2: $1100_2 = 12$ دەبێتە $0110_2 = 6$. تەنانەت لێدەرکردنیش بە کۆکردنەوە ئەنجام دەدرێت: $6 - 3$ دەبێتە 6 کۆ تەواوکەری دووی 3.

Programming languages hide this mathematics from you. When you write total = price * count, you never see a bit, but the CPU still multiplies two binary numbers underneath.

زمانەکانی بەرنامەسازی (Programming language) ئەم بیرکارییەت لێ دەشارنەوە. کاتێک دەنووسیت total = price * count، هیچ بیتێک نابینیت، بەڵام CPU هەر لە ژێرەوە دوو ژمارەی دووانی لێک دەدات.

It depends on the job. Some programmers build apps that are not mathematical at all: a social-media app, an app for reading religious books, a PDF library. Even these use simple mathematics. A food-delivery app counts the items in your basket and sums their prices. Those operations are easy, so such a programmer does not need deep topics like geometry. A programmer who builds games does.

بەپێی پیشەکە دەگۆڕێت. هەندێک بەرنامەساز ئەپەکان (App) دروست دەکەن کە هیچ بیرکارییان تێدا نییە: ئەپێکی تۆڕی کۆمەڵایەتی (Social network)، ئەپێک بۆ خوێندنەوەی کتێبی ئایینی، کتێبخانەیەکی PDF. تەنانەت ئەمانەش بیرکاریی سادە بەکار دەهێنن. ئەپێکی گەیاندنی خواردن کاڵاکانی سەبەتەکەت دەژمێرێت و نرخەکانیان کۆ دەکاتەوە. ئەم کارانە ئاسانن، بۆیە بەرنامەسازێکی وا پێویستی بە بابەتی قووڵی وەک ئەندازەزانی نییە. بەرنامەسازێک کە یاری دروست دەکات پێویستیەتی.

Nobody knows all of mathematics, just as nobody is expected to know every programming language: no human can memorise that much. You learn the mathematics that your field needs, and you can always learn more when a new job needs it.

کەس هەموو بیرکاری نازانێت، هەروەک چۆن چاوەڕێ ناکرێت کەس هەموو زمانەکانی بەرنامەسازی بزانێت: هیچ مرۆڤێک ناتوانێت ئەو هەموو شتە لەبەر بکات. ئەو بیرکارییە فێر دەبیت کە بوارەکەت پێویستی پێیەتی و هەر کاتێک کارێکی نوێ پێویستی پێ بوو، دەتوانیت زیاتر فێر ببیت.

Computer science grew out of mathematics. Modern tools hide much of it, but compilers, cryptography, computer networks, artificial intelligence and data analysis are all built on mathematics and statistics.

زانستی کۆمپیوتەر لە بیرکارییەوە سەری هەڵداوە. ئامرازە نوێیەکان زۆربەی دەشارنەوە، بەڵام کۆمپایلەرەکان (Compiler)، کریپتۆگرافی (Cryptography)، ڕایەڵە کۆمپیوتەرییەکان، ژیریی دەستکرد و شیکردنەوەی دراوە هەموویان لەسەر بیرکاری و ئامار بنیات نراون.

Machine learning, a branch of artificial intelligence, cannot happen at all without linear algebra, multivariable calculus, probability and graph theory (which itself rests on the theory of sets, see Sets). In Computer graphics you cannot go far without linear algebra. In AI you must be good at calculus and linear algebra, plus other mathematics depending on the job. See Machine learning basics and how machines learn from data. How probability works inside phones and computers is in Probability in computing.

فێربوونی ئامێر کە جۆرێکە لە ژیریی دەستکرد، بە هیچ شێوەیەک بەبێ جەبری هێڵی (Linear algebra)، کالکولەسی چەند گۆڕاوی، ئەگەر و تیۆریی گراف (کە خۆی لەسەر تیۆریی کۆمەڵەکان (Set) بەندە، بڕوانە کۆمەڵەکان) ڕوو نادات. لە گرافیکی کۆمپیوتەریدا بەبێ جەبری هێڵی ناتوانیت زۆر بڕۆیتە پێشەوە. لە ژیریی دەستکرددا دەبێت لە کالکولەس و جەبری هێڵیدا لێزان بیت، لەگەڵ بیرکاریی تر بەپێی پیشەکە. بڕوانە بنەماکانی فێربوونی ئامێر و ئامێر چۆن لە دراوەوە فێر دەبێت. ئەگەر چۆن لەناو مۆبایل و کۆمپیوتەردا کار دەکات لە ئەگەر لە بواری کۆمپیوتەردا دایە.

Read more (the essay's own sources, checked in 2026): Math is Fun and its geometry pages, Math.net, and Cuemath's algebra in real life. Next: Algebra, Boolean logic and matrices inside the computer.

زیاتر بخوێنەوە (سەرچاوەکانی خودی نامیلکەکە، لە ⁦2026⁩دا پشکنراون): ⁦Math is Fun⁩ و پەڕەکانی ئەندازەزانی، ⁦Math.net⁩ و جەبر لە ژیانی ڕاستەقینەدای Cuemath. دواتر: جەبر، لۆجیکی بوول و ماتریکسەکان لەناو کۆمپیوتەردا.