Chapterبەش 5 · Lectureوانە 5.1

Shifting Graphsکشانەوەی هێڵکاری

How adding a constant outside or inside a function slides its graph up, down, left or right without changing its shape: $f(x)\pm c$ and $f(x\pm c)$ , why $+c$ inside moves left, combined shifts and the vertex, and the seven exercises of the notes with drawn answers.

چۆن زیادکردنی لە دەرەوە یان ناوەوەی هێڵکارییەکەی بۆ سەرەوە، خوارەوە، چەپ یان ڕاست دەخزێنێت بەبێ گۆڕینی شێوەکەی: $f(x)\pm c$ و $f(x\pm c)$ ، بۆچی $+c$ لە ناوەوە بۆ چەپ دەبات، تێکەڵ و ، لەگەڵ حەوت ڕاهێنانەکەی تێبینییەکان بە وەڵامی کێشراو.

9 min read10 خولەک خوێندنەوە · 11 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Shift a graph up or down by adding a constant to the output.
Shift a graph left or right by adding a constant to the input, and explain why the sign works the other way round.
Find the new vertex, starting point, asymptote, domain and range after a shift.
Read a combined shift $f(x-h)+k$ from a formula.

هێڵکارییەک بە زیادکردنی بۆ بەرز یان نزم بکەیتەوە.
هێڵکارییەک بە زیادکردنی بۆ بۆ چەپ یان ڕاست ببەیت و ڕوونی بکەیتەوە بۆچی نیشانەکە بە پێچەوانەوە کار دەکات.
، خاڵی دەستپێک، ، و نوێ دوای بدۆزیتەوە.
تێکەڵی $f(x-h)+k$ لە فۆرمولەیەکەوە بخوێنیتەوە.

Moving a graph without changing its shapeجوولاندنی هێڵکارییەک بەبێ گۆڕینی شێوەکەی

You already know the shapes of the basic graphs: the V of $|x|$ , the parabola $x^2$ , the curves $x^3$ and $\sqrt x$ (graphs of basic functions). A small change in the formula moves such a graph to a new place. A change of the formula that moves, stretches or flips a graph is called a transformation; the simplest one is a shift, which slides the whole graph without changing its shape.

شێوەی هێڵکارییە بنەڕەتییەکان دەزانیت: Vـی $|x|$ ، $x^2$ ، چەماوەکانی $x^3$ و $\sqrt x$ (هێڵکاریی نەخشەی بنەڕەتی). گۆڕانێکی بچووک لە فۆرمولەکەدا ئەو جۆرە هێڵکارییە دەبات بۆ شوێنێکی نوێ. گۆڕینی فۆرمولە بە شێوەیەک کە هێڵکارییەک بجوولێنێت، درێژی بکاتەوە یان وەریبگێڕێت پێی دەوترێت ؛ سادەترینیان ، کە هەموو هێڵکارییەکە دەخزێنێت بەبێ ئەوەی شێوەکەی بگۆڕێت.

Definitionپێناسە

Moving a graph without changing its shape: $f(x)+c$ moves it up c units, $f(x-c)$ moves it right c units ( $c>0$ ).

جوولاندنی هێڵکارییەکە بەبێ گۆڕینی شێوەکەی: $f(x)+c$ c یەکە بەرزی دەکاتەوە و $f(x-c)$ c یەکە بۆ ڕاستی دەبات ( $c>0$ ).

To shift the graph of $y=f(x)$ you add a constant $c>0$ in one of two places: outside f (to the output) or inside f (to the input). Outside moves the graph up or down; inside moves it left or right.

بۆ $y=f(x)$ $c>0$ لە یەکێک لە دوو شوێندا زیاد دەکەیت: دەرەوەی f (بۆ ) یان ناوەوەی f (بۆ ). دەرەوە هێڵکارییەکە بەرز یان نزم دەکاتەوە؛ ناوەوە بۆ چەپ یان ڕاست دەیبات.

Up and down: $f(x)+c$ and $f(x)-c$ سەرەوە و خوارەوە: $f(x)+c$ و $f(x)-c$

y=f(x)+c,\qquad y=f(x)-c\qquad (c>0)

Examples 1 and 2 of the notes: every value of $|x|$ goes up by 2 or down by 2.نموونەی 1 و 2ی تێبینییەکان: هەموو بەهایەکی $|x|$ بە 2 بەرز یان نزم دەبێتەوە.
$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$\|x\|$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$
$\|x\|+2$	$4$	$3$	$2$	$3$	$4$
$\|x\|-2$	$0$	$-1$	$-2$	$-1$	$0$

Examples 1 and 2:

|x|+2

is

|x|

moved up 2;

|x|-2

is

|x|

moved down 2.نموونەی 1 و 2:

|x|+2

هەمان

|x|

ـە 2 بۆ سەرەوە؛

|x|-2

هەمان

|x|

ـە 2 بۆ خوارەوە.CêIT

Everyday analogyنموونەیەک لە ژیانی ڕۆژانەوە

A shop raises every price by 250 dinars. The new price list is "old price + 250": each item keeps its place on the shelf, but every price is 250 higher. That is exactly $f(x)+250$ : the same x, a bigger output.

دوکانێک هەموو نرخێک ⁦250⁩ دینار بەرز دەکاتەوە. لیستی نرخی نوێ «نرخی کۆن + ⁦250⁩»ـە: هەر کاڵایەک لە شوێنی خۆی لەسەر ڕەفەکە دەمێنێتەوە، بەڵام هەموو نرخێک ⁦250⁩ زیاترە. ئەمە ڕێک $f(x)+250$ ـە: هەمان x و گەورەتر.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

Prices are only whole dinars; a graph shift works for every real x.

نرخەکان تەنها دیناری تەواون؛ بۆ هەموو xـێکی ڕاستی کار دەکات.

Left and right: $f(x+c)$ and $f(x-c)$ چەپ و ڕاست: $f(x+c)$ و $f(x-c)$

y=f(x+c),\qquad y=f(x-c)\qquad (c>0)

Examples 3 and 4: the smallest value 0 now appears at $x=-2$ for $|x+2|$ and at $x=2$ for $|x-2|$ .نموونەی 3 و 4: بچووکترین بەهای 0 ئێستا بۆ $|x+2|$ لە $x=-2$ و بۆ $|x-2|$ لە $x=2$ ـدا دەردەکەوێت.
$x$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$\|x+2\|$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$\|x-2\|$	$6$	$5$	$4$	$3$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$

Examples 3 and 4:

+2

inside moves

|x|

left,

-2

inside moves it right.نموونەی 3 و 4:

+2

لە ناوەوە

|x|

بۆ چەپ دەبات،

-2

لە ناوەوە بۆ ڕاست.CêIT

Trigonometric graphs move by the same rule: cosine is sine shifted $\frac{\pi}{2}$ to the left, $\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ (The graphs of sine and cosine).

هێڵکاریی و بە هەمان یاسا دەجووڵێن: هەمان کە $\frac{\pi}{2}$ بەرەو چەپ جووڵێنراوە، $\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ (هێڵکاریی ساین و کۆساین).

Quick checkپشکنینی خێراWhich formula moves the graph of

\sqrt x

3 units to the right?کام فۆرمولە

\sqrt x

3 یەکە بۆ ڕاست دەبات؟

\sqrt x+3

\sqrt x+3

\sqrt{x+3}

\sqrt{x+3}

\sqrt x-3

\sqrt x-3

\sqrt{x-3}

\sqrt{x-3}

Left and right: $f(x+c)$ and $f(x-c)$ چەپ و ڕاست: $f(x+c)$ و $f(x-c)$

Why does $+c$ inside move the graph left?بۆچی $+c$ لە ناوەوە هێڵکارییەکە بۆ چەپ دەبات؟

Ask: where does the new function do what the old one did at $x=0$ ? For $|x|$ the special moment is $x=0$ (the vertex). For $|x+2|$ the inside $x+2$ becomes 0 when $x=-2$ . So the vertex is reached 2 units earlier, to the left. In general, $f(x+c)$ at the input x gives the value that f gave at $x+c$ : every value arrives c units sooner.

بپرسە: لە کوێدا ئەو کارە دەکات کە کۆنەکە لە $x=0$ ـدا دەیکرد؟ بۆ $|x|$ ساتە تایبەتەکە $x=0$ ـە (). بۆ $|x+2|$ ناوەوەی $x+2$ کاتێک $x=-2$ دەبێتە 0. کەواتە 2 یەکە زووتر دەگەینە ، لە لای چەپ. بە گشتی، $f(x+c)$ لە xـدا ئەو بەهایە دەدات کە f لە $x+c$ ـدا دەیدا: هەموو بەهایەک c یەکە زووتر دێت.

Everyday analogyنموونەیەک لە ژیانی ڕۆژانەوە

A tea house usually opens at 10:00, and its busiest hour is 13:00. Tomorrow it opens 2 hours earlier, so everything happens 2 hours sooner: the busiest hour is 11:00. If $C(t)$ is today's number of customers at time t, tomorrow's is $C(t+2)$ : at 8:00 tomorrow it is as busy as at 10:00 today. A " $+2$ " inside, and the whole graph moves left, to earlier times.

چایخانەیەک بە ئاسایی کاتژمێر ⁦10:00⁩ دەکرێتەوە و قەرەباڵغترین کاتی ⁦13:00⁩ـە. سبەینێ 2 کاتژمێر زووتر دەکرێتەوە، بۆیە هەموو شتێک 2 کاتژمێر زووتر ڕوو دەدات: قەرەباڵغترین کات ⁦11:00⁩ دەبێت. ئەگەر $C(t)$ ژمارەی میوانەکانی ئەمڕۆ بێت لە کاتی tـدا، هی سبەینێ $C(t+2)$ ـە: کاتژمێر ⁦8:00⁩ی سبەینێ هێندەی ⁦10:00⁩ی ئەمڕۆ قەرەباڵغە. « $+2$ » لە ناوەوە و هەموو هێڵکارییەکە بۆ چەپ دەڕوات، بۆ کاتی زووتر.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

Real days are never exact copies of each other; a shifted graph is an exact copy.

ڕۆژە ڕاستەقینەکان هەرگیز ڕێک وێنەی یەکتر نین؛ هێڵکاریی کشاوە وێنەیەکی ڕێکە.

All four shifts togetherهەر چوار کشانەوەکە پێکەوە

The notes call shifts up and down vertical shifts, and shifts left and right horizontal shifts. Here they are side by side, for $c>0$ :

تێبینییەکان بە سەرەوە و خوارەوە دەڵێن ستوونی و بە چەپ و ڕاست دەڵێن ئاسۆیی. ئەمانە لە تەنیشت یەکترن، بۆ $c>0$ :

Formulaفۆرمولە	Where is c?c لە کوێیە؟	Movementجووڵە	A point $(x,y)$ goes toخاڵی $(x,y)$ دەچێت بۆ
$f(x)+c$	outsideدەرەوە	up c (vertical)c بۆ سەرەوە (ستوونی)	$(x,\ y+c)$
$f(x)-c$	outsideدەرەوە	down c (vertical)c بۆ خوارەوە (ستوونی)	$(x,\ y-c)$
$f(x+c)$	insideناوەوە	left c (horizontal)c بۆ چەپ (ئاسۆیی)	$(x-c,\ y)$
$f(x-c)$	insideناوەوە	right c (horizontal)c بۆ ڕاست (ئاسۆیی)	$(x+c,\ y)$

Animation. The V-shaped graph of |x| (dashed) stays in place while a teal copy moves: up to |x| + 1 and |x| + 2, down to |x| − 1 and |x| − 2, left to |x + 1| and |x + 2| (with the warning: add 2 inside, left 2, not right), right to |x − 1| and |x − 2|, and finally to |x − 4| + 3 with its vertex at (4, 3). Beside the graph the formula, the vertex and the rule are shown. — The V of $|x|$ moves up, down, left and right; the vertex tells you where it went.Vـی $|x|$ بۆ سەرەوە، خوارەوە، چەپ و ڕاست دەجوولێت؛ پێت دەڵێت بۆ کوێ چووە.CêIT

Quick checkپشکنینی خێرا

y=(x-1)^2

is the parabola

y=x^2

moved …

y=(x-1)^2

هەمان

y=x^2

ـە کە …1 unit left (a horizontal shift)1 یەکە بۆ چەپ بردراوە (کشانەوەی ئاسۆیی)1 unit right (a horizontal shift)1 یەکە بۆ ڕاست بردراوە (کشانەوەی ئاسۆیی)1 unit down (a vertical shift)1 یەکە بۆ خوارەوە بردراوە (کشانەوەی ستوونی)1 unit up (a vertical shift)1 یەکە بۆ سەرەوە بردراوە (کشانەوەی ستوونی)

Transforming Algebraic Functions: Shifting, Stretching, and ReflectingProfessor Dave Explains · Englishئینگلیزی · 528K viewsبینین · 9.9K likesلایک · Partبەشی 0:00–2:51 (ofلە 7:51)
Moving a graph up, down, left and right, then stretching, shrinking and reflecting it, shown on the basic graphs.
جووڵاندنی بۆ سەرەوە، خوارەوە، چەپ و ڕاست، پاشان ، و ، لەسەر هێڵکارییە بنەڕەتییەکان.
Watch 0:00–2:51: vertical shifts (x² + 2), then horizontal shifts ((x + 2)²: plus inside moves left).
لە ⁦0:00⁩ تا ⁦2:51⁩ سەیر بکە: ( $x^2 + 2$ )، پاشان ( $(x + 2)^2$ : + لە ناو کەوانەدا هێڵکارییەکە بەرەو چەپ دەبات).

Two shifts at onceدوو کشانەوە پێکەوە

A formula can contain both kinds of shift. In $y=f(x-h)+k$ the inside part moves the graph right h, the outside part moves it up k, and every point goes from $(x,y)$ to $(x+h,\,y+k)$ . A negative h means left, a negative k means down. The two moves do not disturb each other, so you may do them in either order.

فۆرمولەیەک دەتوانێت هەردوو جۆری لەخۆ بگرێت. لە $y=f(x-h)+k$ ـدا بەشی ناوەوە هێڵکارییەکە h بۆ ڕاست دەبات، بەشی دەرەوە k بۆ سەرەوە و هەموو خاڵێک لە $(x,y)$ ـەوە دەچێت بۆ $(x+h,\,y+k)$ . hـی سالب واتە چەپ، kـی سالب واتە خوارەوە. دوو جووڵەکە کار لە یەکتر ناکەن، بۆیە دەتوانیت بە هەر ڕیزبەندییەک ئەنجامیان بدەیت.

Read the insideناوەوە بخوێنەوە
For $y=|x+3|-1$ : $x+3=x-(-3)$ , so $h=-3$ : 3 left.
بۆ $y=|x+3|-1$ : $x+3=x-(-3)$ ، بۆیە $h=-3$ : 3 بۆ چەپ.
Read the outsideدەرەوە بخوێنەوە
$-1$ outside: $k=-1$ : 1 down.
$-1$ لە دەرەوە: $k=-1$ : 1 بۆ خوارەوە.
Move the key pointخاڵە سەرەکییەکە بجوولێنە
The vertex $(0,0)$ of $|x|$ goes to $(-3,-1)$ . Check: $|-3+3|-1=-1$ . Draw the same V from there.
$(0,0)$ ـی $|x|$ دەچێت بۆ $(-3,-1)$ . پشکنین: $|-3+3|-1=-1$ . لەوێوە هەمان V بکێشە.

Exercises from the notes (1–4)ڕاهێنانەکانی تێبینییەکان ⁦(1–4)⁩

The notes list seven functions as "Example and H.W." For each one, name the basic graph, describe the shift, and find a key point. Try them before you open the answers.

تێبینییەکان حەوت وەک «نموونە و ئەرکی ماڵەوە» دەنووسن. بۆ هەر یەکێکیان هێڵکارییە بنەڕەتییەکە ناو ببە، وەسف بکە و خاڵێکی سەرەکی بدۆزەوە. پێش کردنەوەی وەڵامەکان هەوڵیان بدە.

ExerciseڕاهێنانExercises 1–4ڕاهێنانەکانی ⁦1–4⁩

Describe the graphs of (1) $y=x^2+3$ (2) $y=x^3-3$ (3) $y=\sqrt{x-4}$ (4) $y=\frac{1}{x+5}$ .

هێڵکارییەکانی ⁦(1)⁩ $y=x^2+3$ ⁦(2)⁩ $y=x^3-3$ ⁦(3)⁩ $y=\sqrt{x-4}$ ⁦(4)⁩ $y=\frac{1}{x+5}$ وەسف بکە.

Hintئاماژە

Outside the basic function: up or down. Inside, next to x: left or right, with the opposite sign.

لە دەرەوەی : سەرەوە یان خوارەوە. لە ناوەوە، لە تەنیشت x: چەپ یان ڕاست، بە نیشانەی پێچەوانە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Function	Basic graphهێڵکاریی بنەڕەتی	Shift	Key point, domain, rangeخاڵی سەرەکی، ،
$x^2+3$	$x^2$	up 33 بۆ سەرەوە	vertex $(0,3)$ ; range $[3,\infty)$ $(0,3)$ ؛ $[3,\infty)$
$x^3-3$	$x^3$	down 33 بۆ خوارەوە	centre $(0,-3)$ ; domain and range $\mathbb{R}$ ناوەند $(0,-3)$ ؛ و $\mathbb{R}$
$\sqrt{x-4}$	$\sqrt x$	right 44 بۆ ڕاست	starts at $(4,0)$ ; domain $[4,\infty)$ لە $(4,0)$ ـەوە دەست پێدەکات؛ $[4,\infty)$
$\frac{1}{x+5}$	$\frac1x$	left 55 بۆ چەپ	vertical asymptote $x=-5$ ; domain $x\ne-5$ ستوونی $x=-5$ ؛ $x\ne-5$

In (3) the shift changes the domain: $\sqrt{x-4}$ needs $x-4\ge0$ . In (4) the forbidden input moves with the graph: $\frac1x$ has no value at 0, $\frac{1}{x+5}$ has none at $-5$ .

لە ⁦(3)⁩ـدا دەگۆڕێت: $\sqrt{x-4}$ پێویستی بە $x-4\ge0$ هەیە. لە ⁦(4)⁩ـدا قەدەغەکراو لەگەڵ هێڵکارییەکە دەجوولێت: $\frac1x$ لە 0دا بەهای نییە، $\frac{1}{x+5}$ لە $-5$ ـدا.

Answers 1–4 drawn: dashed grey is the basic graph, teal the shifted one.وەڵامەکانی ⁦1–4⁩ کێشراون: خۆڵەمێشیی پچڕپچڕ هێڵکارییە بنەڕەتییەکەیە و سەوزی تاریک هی کشاوەکە.CêIT

Exercises from the notes (1–4)ڕاهێنانەکانی تێبینییەکان ⁦(1–4)⁩

Exercises from the notes (5–7)ڕاهێنانەکانی تێبینییەکان ⁦(5–7)⁩

ExerciseڕاهێنانExercises 5–7ڕاهێنانەکانی ⁦5–7⁩

Describe the graphs of (5) $y=|x-4|+7$ (6) $y=\sqrt[3]x+2$ (7) $y=x-2$ .

هێڵکارییەکانی ⁦(5)⁩ $y=|x-4|+7$ ⁦(6)⁩ $y=\sqrt[3]x+2$ ⁦(7)⁩ $y=x-2$ وەسف بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Function	Basic graphهێڵکاریی بنەڕەتی	Shift	Key pointخاڵی سەرەکی
$\|x-4\|+7$	$\|x\|$	right 4 and up 74 بۆ ڕاست و 7 بۆ سەرەوە	vertex $(4,7)$ ; range $[7,\infty)$ $(4,7)$ ؛ $[7,\infty)$
$\sqrt[3]x+2$	$\sqrt[3]x$	up 22 بۆ سەرەوە	centre $(0,2)$ ناوەند $(0,2)$
$x-2$	$x$	down 2 (or right 2: the same line)2 بۆ خوارەوە (یان 2 بۆ ڕاست: هەمان هێڵ)	crosses the axes at $(2,0)$ and $(0,-2)$ لە $(2,0)$ و $(0,-2)$ ـدا دەبڕێت

(7) is a nice surprise: $x-2$ can be read as $f(x)-2$ (the line $y=x$ moved down 2) or as $f(x-2)$ (moved right 2). For a line of slope 1 both moves give the same line.

⁦(7)⁩ سەرسوڕهێنەرە: $x-2$ دەکرێت وەک $f(x)-2$ بخوێنرێتەوە (هێڵی $y=x$ 2 بۆ خوارەوە) یان وەک $f(x-2)$ (⁦2⁩ بۆ ڕاست). بۆ هێڵێک بە 1 هەردوو جووڵەکە هەمان هێڵ دەدەن.

Answers 5–7 drawn.وەڵامەکانی ⁦5–7⁩ کێشراون.CêIT

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Correctڕاست
" $\|x+2\|$ moves right 2."« $\|x+2\|$ 2 بۆ ڕاست دەڕوات.»	Plus inside moves left: the vertex is at $x=-2$ .کۆ لە ناوەوە بۆ چەپ دەبات: لە $x=-2$ ـدایە.
" $\|x\|+2$ and $\|x+2\|$ are the same."« $\|x\|+2$ و $\|x+2\|$ وەک یەکن.»	At $x=-2$ : $\|-2\|+2=4$ but $\|-2+2\|=0$ . Outside is vertical, inside is horizontal.لە $x=-2$ : $\|-2\|+2=4$ بەڵام $\|-2+2\|=0$ . دەرەوە ستوونییە، ناوەوە ئاسۆیی.
Forgetting that the domain moves: " $\sqrt{x-4}$ starts at 0."لەبیرکردنی ئەوەی دەجوولێت: « $\sqrt{x-4}$ لە 0ـەوە دەست پێدەکات.»	It starts at $x=4$ ; the domain is $[4,\infty)$ .لە $x=4$ ـەوە دەست پێدەکات؛ $[4,\infty)$ ـە.
Leaving the asymptote of $\frac{1}{x+5}$ at $x=0$ .هێشتنەوەی $\frac{1}{x+5}$ لە $x=0$ .	Everything moves 5 left, the asymptote too: $x=-5$ .هەموو شتێک 5 بۆ چەپ دەڕوات، : $x=-5$ .
Writing $x^2+3$ as " $(x+3)^2$ ".نووسینی $x^2+3$ وەک « $(x+3)^2$ ».	$(x+3)^2$ is a horizontal shift (left 3); at $x=1$ it gives 16, not 4. $(x+3)^2$ ئاسۆییە (⁦3⁩ بۆ چەپ)؛ لە $x=1$ ـدا ⁦16⁩ دەدات، نەک 4.

Quick checkپشکنینی خێراWhich function has its vertex at

(3,-2)

?کام لە

(3,-2)

ـدایە؟

y=|x-2|+3

y=|x-2|+3

y=|x|-3-2

y=|x|-3-2

y=|x+3|-2

y=|x+3|-2

y=|x-3|-2

y=|x-3|-2

Summaryپوختە

Outside (to the output): $f(x)+c$ up c, $f(x)-c$ down c. These are vertical shifts.
Inside (to the input): $f(x+c)$ left c, $f(x-c)$ right c. These are horizontal shifts, and the sign works the other way round.
$y=f(x-h)+k$ : every point moves from $(x,y)$ to $(x+h,y+k)$ ; the vertex of $|x-h|+k$ is $(h,k)$ .
A shift never changes the shape, but it moves everything: the vertex, the starting point of a root, the asymptote, and the domain or range.

دەرەوە (بۆ ): $f(x)+c$ c بۆ سەرەوە، $f(x)-c$ c بۆ خوارەوە. ئەمانە ستوونین.
ناوەوە (بۆ ): $f(x+c)$ c بۆ چەپ، $f(x-c)$ c بۆ ڕاست. ئەمانە ئاسۆیین و نیشانەکە بە پێچەوانەوە کار دەکات.
$y=f(x-h)+k$ : هەموو خاڵێک لە $(x,y)$ ـەوە دەچێت بۆ $(x+h,y+k)$ ؛ $|x-h|+k$ خاڵی $(h,k)$ ـە.
هەرگیز شێوە ناگۆڕێت، بەڵام هەموو شتێک دەجوولێنێت: ، خاڵی دەستپێکی ڕەگ، و یان .

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Where is the vertex of

y=|x+1|+4

?لووتکەی

y=|x+1|+4

لە کوێیە؟

At $(-1,4)$ : 1 left and 4 up.

لە $(-1,4)$ : 1 بۆ چەپ و 4 بۆ سەرەوە.

What is the domain of

y=\sqrt{x+2}

?بواری

y=\sqrt{x+2}

چییە؟

$[-2,\infty)$ : the graph of $\sqrt x$ moved 2 left.

$[-2,\infty)$ : $\sqrt x$ 2 بۆ چەپ.

Why does

f(x+c)

move left?بۆچی

f(x+c)

بۆ چەپ دەڕوات؟

At the input x it already gives the value that f gives at $x+c$ , so every value arrives c units earlier.

لە xـدا ئەو بەهایە دەدات کە f لە $x+c$ ـدا دەیدات، بۆیە هەموو بەهایەک c یەکە زووتر دێت.

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

بەشی ١ وانەی ٣ جێگۆڕکێ ی نەخشەکان “ م.وەرزێر حسنمامۆستا وەرزێر Warzer hasan · Kurdish (Sorani)کوردی (سۆرانی) · 35K viewsبینین · 1.3K likesلایک
In Kurdish: moving the graph of a function up, down, left and right (translations), as in the Grade 12 book, chapter 1 lesson 3.
بە کوردی: جووڵاندنی بۆ سەرەوە، خوارەوە، چەپ و ڕاست ()، وەک کتێبی پۆلی ⁦12⁩، بەشی 1، وانەی 3.
Sorani, Grade 12 chapter 1 lesson 3 'جێگۆڕکێی نەخشەکان' (translations of functions).
بە سۆرانی، پۆلی ⁦12⁩، بەشی 1، وانەی 3: «جێگۆڕکێی » ( ).

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Stretching, Compressing and Reflecting Graphsدرێژکردنەوە، پەستاندن و وێنەدانەوەی هێڵکاری

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Shifting Graphsکشانەوەی هێڵکاری

What you will learnچی فێر دەبیت

Moving a graph without changing its shapeجوولاندنی هێڵکارییەک بەبێ گۆڕینی شێوەکەی

Up and down: f(x)+cf(x)+cf(x)+c and f(x)−cf(x)-cf(x)−cسەرەوە و خوارەوە: f(x)+cf(x)+cf(x)+c و f(x)−cf(x)-cf(x)−c

Left and right: f(x+c)f(x+c)f(x+c) and f(x−c)f(x-c)f(x−c)چەپ و ڕاست: f(x+c)f(x+c)f(x+c) و f(x−c)f(x-c)f(x−c)

Why does +c+c+c inside move the graph left?بۆچی +c+c+c لە ناوەوە هێڵکارییەکە بۆ چەپ دەبات؟

All four shifts togetherهەر چوار کشانەوەکە پێکەوە

Two shifts at onceدوو کشانەوە پێکەوە

Exercises from the notes (1–4)ڕاهێنانەکانی تێبینییەکان ⁦(1–4)⁩

Exercises from the notes (5–7)ڕاهێنانەکانی تێبینییەکان ⁦(5–7)⁩

Common mistakesهەڵە باوەکان

Summaryپوختە

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

Up and down: $f(x)+c$ and $f(x)-c$ سەرەوە و خوارەوە: $f(x)+c$ و $f(x)-c$

Left and right: $f(x+c)$ and $f(x-c)$ چەپ و ڕاست: $f(x+c)$ و $f(x-c)$

Why does $+c$ inside move the graph left?بۆچی $+c$ لە ناوەوە هێڵکارییەکە بۆ چەپ دەبات؟